# 15. Значення тригонометричних функцій

![](/files/-LHdGrnz-ZvXwT61Pdjs)

 Як використовують координати точок для обчислення значень тригонометричних функцій розберіть за [**підручником**](https://drive.google.com/file/d/1KBUWaCgCgfC4sy3K3iB_8ev-8xWn8tzZ/view) Приклад 1 і Приклад 2 \[с.39].

![малюнки з підручника (для зручності подальших пояснень)](/files/-LHdKYBxqozAZtUOwgV6)

![](/files/-LHdKjLq9BlJW6x8EGBH)

 **Чому в Прикладі 2 (мал.29)**![](http://mathland.at.ua/DistanceCourses/Trigonometry/Lesson15/tr1503.png)**?**

 Оскільки $$\angle P\_\alpha OP\_0=\frac{\normalsize3\pi}{\normalsize4}$$, а $$\angle AOP\_0=\pi$$, то\
$$\angle P\_\alpha OP\_0=\pi-\frac{\normalsize3\pi}{\normalsize4}=\frac{\normalsize4\pi}{\normalsize4}-\frac{\normalsize3\pi}{\normalsize4}=\frac{\normalsize\pi}{\normalsize4}$$

![](/files/-LHdLumvXoRr8Oe6XlP8)

 **Не зрозуміло, за якою ознакою рівні** $$\boldsymbol {\triangle P\_\alpha AO}$$ **і** $$\boldsymbol {\triangle P\_{\frac{\pi}{4}}CO}$$**?**

За гіпотенузою і гострим кутом: $$\angle P\_\alpha AO=\angle P\_{\frac{\pi}{4}}CO=\frac{\normalsize\pi}{\normalsize4}$$, гіпотенузи $$P\_\alpha O$$ і $$P\_{\frac{\pi}{4}}O$$ теж рівні як радіуси одиничного кола.

![](/files/-LHdNX48UdeNuQZx4ZhC)

**Так значить, якщо кут *****α***** повернути на +90°, то sin*****α***** і sin(*****α*****+90°) будуть рівними?**

От це вже ні. Така рівність вірна тільки для даного випадку. Це сталося через те, що$$\alpha=45^{\circ}$$, значить $$\triangle P\_{\frac{\pi}{4}}CO$$ рівнобедрений, так само як і $$\triangle P\_\alpha AO$$, а значить у них $$\angle P\_\alpha AO=\angle P\_{\frac{\pi}{4}}OC=\frac{\normalsize\pi}{\normalsize4}$$, а тому і синуси кутів $$\alpha$$ і $$\alpha+90^\circ$$вийшли рівними. Для інших кутів такого не станеться. Якби, наприклад, кут $$\alpha$$дорівнював 30°, то $$\alpha+90^\circ=120^\circ$$, тоді $$\angle P\_\alpha OA=180^\circ-120^\circ=60^\circ$$. От і порівняйте тепер за таблицею значень тригонометричних функцій (див. нижче) sin30° i sin60°. sin30°=sin60°?

![](/files/-LHdOuv7ilQa3pCjCseB)

**А як обчислювати значення тригонометричних функцій для кутів III або IV чверті?**

Взагалі-то їх обчислювати не треба. Їх давно обчислено. Потрібно тільки подивитися у відповідну таблицю, наприклад, в [**таку**](http://mathland.at.ua/index/znachennja_trigonometrichnikh_funkcij/0-10).\
А от як ці значення було отримано – можна пояснити.\
Будемо керуватися міркуваннями, аналогічними до тих, що наведені в підручнику. **Знайдемо значення тригонометричних функцій для кута 210°.**\
$$\triangle OAP\_{210^{\circ}}=\triangle OCP\_\alpha$$ ($$\angle A=\angle C=90^{\circ}$$, $$\angle AOP\_{210^{\circ}}=\angle COP\_\alpha$$ як радіуси кола, значить прямокутні трикутники рівні за стороною і гострим кутом). З рівності трикутників слідує рівність сторін $$AO=OC$$, $$P\_{210^{\circ}}A=P\_\alpha C$$. Це означає, що рівними за абсолютною величиною є і абсциси і ординати точок $$P\_\alpha$$ та $$P\_{210^{\circ}}$$. Тому обчислення тригонометричних функцій кута 210° можна замінити (врахувавши знак координат) обчисленням значень тригонометричних функцій гострого кута.Чому дорівнює цей кут? $$\angle AOP\_{210^{\circ}}=210^{\circ}-180^{\circ}=30^{\circ}=\angle C$$. Далі справа за обчисленням значень тригонометричних функцій гострого кута. Оскільки з таблиці відомо, що $$\sin30^{\circ}=\frac{\normalsize1}{\normalsize2}$$, $$\cos30^{\circ}=\frac{\normalsize\sqrt{3}}{\normalsize2}$$, $$\tg30^{\circ}=\frac{\normalsize\sqrt{3}}{\normalsize3}$$, $$\ctg30^{\circ}=\sqrt{3}$$, то відповідно (з урахуваннями знаків координат точки $$P\_{210^{\circ}}$$, яка розміщена в ІІІ чверті), маємо:\
$$\sin210^{\circ}=-\frac{\normalsize1}{\normalsize2}$$, $$\cos210^{\circ}=-\frac{\normalsize\sqrt{3}}{\normalsize2}$$, $$\tg210^{\circ}=\frac{\normalsize\sqrt{3}}{\normalsize3}$$,  $$\ctg210^{\circ}=\sqrt{3}$$.\
Подібним же чином були обчислені значення тригонометричних функцій IV чверті.

"Пограйтеся" з [**тригонометричним симулятором**](https://phet.colorado.edu/sims/html/trig-tour/latest/trig-tour_en.html) і ще раз розберіться, як обчислюються значення тригонометричних функцій.

![](/files/-LHdRJFs87WKAM8Gl5xF)

 **Вивчіть значення тригонометричних функцій за таблицею:**

![](/files/-LHdRWiZr9i4-_GSlE-T)

 Для тренування у вивченні даної таблиці можна скористатися [**онлайн-тестом**](https://onlinetestpad.com/guk4houvnqroe)


---

# Agent Instructions: Querying This Documentation

If you need additional information that is not directly available in this page, you can query the documentation dynamically by asking a question.

Perform an HTTP GET request on the current page URL with the `ask` query parameter:

```
GET https://oleksandr-s-l.gitbook.io/trygonometry/15.-znachennya-trigonometrichnikh-funkcii.md?ask=<question>
```

The question should be specific, self-contained, and written in natural language.
The response will contain a direct answer to the question and relevant excerpts and sources from the documentation.

Use this mechanism when the answer is not explicitly present in the current page, you need clarification or additional context, or you want to retrieve related documentation sections.