# 18. Тренувальні вправи

Якщо ви з першого разу уже тут, значить вам не довелося читати п.20 підручника і правильні знаки вдалося встановити самостійно. Однак, навіть у разі правильної відповіді усе-таки [**перечитайте цей пункт**](https://drive.google.com/file/d/0BzsjxUcphaAoRVl5R3hXR1dSUDQ/view) і зверніть особливу увагу на Приклади 1-4.

Знаки тригонометричних функцій по координатних чвертях теж потрібно вивчити напам'ять

![](/files/-LHgwpU5LTASJunFou_p)

![](/files/-LHgwtHeDJEKNAMAzjh6)

![](/files/-LHgwxHwcgOFLWiAsef5)

Ще трохи розширимо набуті знання про знаки тригонометричних функцій.

Зверніть увагу на знаки значень функцій від кутів $$\alpha$$ і $$-\alpha$$, тобто у випадку повороту на додатний і від’ємний кут. Нехай кут $$\alpha$$ гострий. Якщо виконати поворот на додатний кут (в І чверті), то $$\sin\alpha$$ додатний, а при повороті на від’ємний кут (IV чверть) $$\sin(-\alpha)$$ від’ємний (див. малюнок вище). Теж саме відбувається і зі значеннями тангенса і котангенса. А от для косинуса на який кут не повертайся – на додатний чи на від’ємний $$\cos\alpha$$ і $$\cos(-\alpha)$$ в обох випадках додатні.

Таким чином, маємо рівності про знаки тригонометричних функцій від’ємних кутів:

![](/files/-LHgxM9uXi04xqms6MWi)

{% hint style="success" %}
 $$\boldsymbol {\sin(-\alpha)=-\sin\alpha;\ \ \cos(-\alpha)=\cos\alpha}$$

 $$\boldsymbol{\tg(-\alpha)=-\tg\alpha;\ \ \ctg(-\alpha)=-\ctg\alpha}$$ 
{% endhint %}

![](/files/-LHgyZW01dh_Q39XBuRK)

Всі ці формули нагадують нам про означення *парних* і *непарних* функцій, про які йшла мова в 9 класі.

{% hint style="info" %}
Функція $$y=f(x)$$ **парна**, якщо її область визначення симетрична відносно нуля і для кожного значення $$x$$ з області визначення виконується рівність $$f(-x)=f(x)$$.

Функція $$y=f(x)$$ **непарна**, якщо її область визначення симетрична відносно нуля і для кожного значення $$x$$ з області визначення виконується рівність $$f(-x)=-f(x)$$.
{% endhint %}

Пригадали? Тоді які з функцій $$y=\sin x,\ y=\cos x,\ y=\tg x,\ y=\ctg x$$ парні, а які непарні?

Тепер вже розв'язувати вправи з обчислення значень виразів, що містять тригонометричні функції буде значно простіше.

{% hint style="success" %}
Для обчислення значення функції з від’ємного кута потрібно обчислити значення функції для додатного кута (відкинувши "мінус"), а потім до результату поставити (чи не поставити) потрібний знак, відповідно до наведених вище рівностей.
{% endhint %}

![](/files/-LHh-gY0vOdbtHZ5FMKT)

{% tabs %}
{% tab title="Завдання" %}
**Обчисліть значення виразів:**

**18.1.**  $$\frac{\normalsize \sin^2\frac{\normalsize\pi}{\normalsize4}}{\normalsize\sin^2\left(-\frac{\normalsize\pi}{\normalsize6}\right)}+\frac{\normalsize\cos^2\left(-\frac{\normalsize\pi}{\normalsize6}\right)}{\normalsize\sin^2\frac{\normalsize\pi}{\normalsize4}}$$;

**18.2.**   $$\sin150^{\circ}\sin240^{\circ}-\tg360^{\circ}\cos315^{\circ}-\ctg(-30^{\circ})\sin^2330^{\circ}+$$\
            $$+3\tg^230^{\circ}$$ 

**18.3.**   $$\frac{\normalsize\tg^2\left(-\frac{\normalsize\pi}{\normalsize4}\right)\cdot \cos\left(-\frac{\normalsize\pi}{\normalsize6}\right)-\sin\left(-\frac{\normalsize\pi}{\normalsize6}\right)}{\normalsize\ctg^3\left(-\frac{\normalsize\pi}{\normalsize4}\right)-\normalsize\ctg\left(-\frac{\normalsize\pi}{\normalsize6}\right)}$$;

**18.4.**   $$\sin\frac{\normalsize\pi}{\normalsize6}+\cos\left(-\frac{\normalsize2\pi}{\normalsize3}\right)+\tg\frac{\normalsize\pi}{\normalsize4}$$;

**18.5.**   $$2\sin\left(-\frac{\normalsize5\pi}{\normalsize6}\right)+\tg\left(-\frac{\normalsize\pi}{\normalsize4}\right)$$;

**18.6.**   $$\cos(-2640^{\circ})$$;

**18.7.**   $$\tg(-2100^{\circ})$$;

**18.8.**   $$\sin\left(-\frac{\normalsize25\pi}{\normalsize3}\right)$$.

**Розв'яжіть рівняння:**

**18.9.** $$x\ctg^2(-30^{\circ})-18\sin(-30^{\circ})=\sin360^{\circ}$$

**18.10.** $$x\sin^2(-45^{\circ})-\left(\frac{\normalsize7}{\normalsize3}\right)^{\cos90^{\circ}}=\cos\ 270^{\circ}$$;

**18.11.** $$2x-\left(\frac{\normalsize1}{\normalsize4}\right)^{\cos\ 180^{\circ}}=\ctg\ 90^{\circ}$$;

**18.12.** $$(5x+\tg45^{\circ})(5x-\ctg45^{\circ})=\sin0^{\circ}$$.
{% endtab %}

{% tab title="Підказки" %}
**18.1.-18.5.** і **18.9.-18.12.** Дивіться в таблицю і підставляйте значення тригонометричних функцій. Не забудьте тільки про від’ємне число у парному (непарному) степені.

**18.6, 18.7.** Виділіть повний оберт 360° і встановіть, у якій чверті знаходиться кут рівнозначний заданому.

**18.8.** Те ж, що і в **18.6.**, **18.7.**, тільки в радіанах, не 360°, а…
{% endtab %}

{% tab title="Відповіді" %}
**18.1.** $$3,5$$; **18.2.** $$1$$; **18.3.** $$\frac{\normalsize1}{\normalsize2}$$; **18.4.** $$1$$; **18.5.** $$-2$$; **18.6.** $$-\frac{\normalsize1}{\normalsize2}$$; **18.7.** $$\sqrt3$$;\
**18.8.** $$-\frac{\normalsize\sqrt3}{\normalsize2}$$;

**18.9.** $$-3\sqrt3$$; **18.10.** $$2$$; **18.11.** $$2$$; **18.12.** $$\frac{\normalsize1}{\normalsize5}$$ і $$-\frac{\normalsize1}{\normalsize5}$$
{% endtab %}
{% endtabs %}


---

# Agent Instructions: Querying This Documentation

If you need additional information that is not directly available in this page, you can query the documentation dynamically by asking a question.

Perform an HTTP GET request on the current page URL with the `ask` query parameter:

```
GET https://oleksandr-s-l.gitbook.io/trygonometry/18.-trenuvalni-vpravi.md?ask=<question>
```

The question should be specific, self-contained, and written in natural language.
The response will contain a direct answer to the question and relevant excerpts and sources from the documentation.

Use this mechanism when the answer is not explicitly present in the current page, you need clarification or additional context, or you want to retrieve related documentation sections.