# 19. Лінії значень тригонометричних функцій

![](/files/-LHn0nliR9Lhp2YlGjCT)

Розв'язуючи попередні вправи про встановлення знаків тригонометричних функцій по координатних чвертях, весь час доводилось дивитися то на абсцису, то на ординату точки, тим самим звертаючись то до вісі Ox, то до вісі Oy. На вісі абсцис знаходимо значення косинуса числового аргументу, на вісі ординат – синуса. Таким чином, стає зрозуміло, що вісь абсцис є віссю значень косинуса, а вісь ординат – віссю значень синуса. Так їх і називають – **лінія синусів і лінія косинусів**.

![](/files/-LHn0wsFRP77B99pesX3)

**Здається, тут не зовсім правильно. Синус і косинус можуть набувати скінчену кількість значень: \[–1;1], а "лінія" це нескінченна пряма. Може правильніше було б назвати "відрізок синусів" і "відрізок косинусів"?**

***По-перше***, значення синуса і косинуса числового аргументу дійсно обмежені проміжком \[–1;1] (функції, що набувають значень не більше ніж *a* і (або) не менше ніж *b* так і називають **обмеженими**), але сам цей проміжок містить нескінченну кількість значень. Врахуйте всі соті, тисячні, мільйонні, мільярдні…\
\&#xNAN;***По-друге***, поняття лінія дійсно припускає деяке поняття "нескінченності", але термін для позначення геометричного зображення множини значень синуса і косинуса обраний саме такий. Тому говоримо **"лінія косинусів"** чи **"лінія синусів"**, маючи на увазі в даному випадку не нескінченну пряму, а відрізок \[–1;1] на вісі абсцис або ординат відповідно.

![](/files/-LHn1JnvdGyLqQ0jibDy)

Розберемося тепер з тим, де на координатній площині позначаються значення тангенса і котангенса.

Прочитайте за [**підручником**](https://drive.google.com/file/d/0BzsjxUcphaAoRVl5R3hXR1dSUDQ/view) \[c.165], як вводиться поняття "**лінія тангенса**" і "**лінія котангенса**".

![](/files/-LHn2DhwcwkLh4PF6RFS)

{% hint style="warning" %}
**Зверніть увагу:** як на лініях синусів і косинусів, так і на лініях тангенсів і котангенсів, одному значенню тригонометричної функції відповідає по два значення числового аргументу. Для синуса ці значення аргументів знаходяться в І і ІІ, ІІІ і IV чвертях. Для косинуса – в І і IV та і ІІ і ІІІ чвертях. Тангенс і котангенс відповідають парам значень числових аргументів з І і ІІІ та ІІ і IV чвертях.\
Таким чином, наприклад, кутам повороту $$\alpha$$ і $$\alpha+2\pi n$$, де $$n\in Z$$, відповідає одна й та сама точка одиничного кола.
{% endhint %}

![](/files/-LHn2yjWjY7e1MCKS2If)

![](/files/-LHn32e9HGJLMONxHljW)

{% hint style="success" %}
$$\sin\alpha=\sin(\alpha+2\pi n),\ n\in Z$$\
$$\cos\alpha=\cos(\alpha+2\pi n),\ n\in Z$$ \
$$\tg\alpha=\tg(\alpha+\pi n),\ n\in Z$$\
$$\ctg\alpha=\ctg(\alpha+\pi n),\ n\in Z$$
{% endhint %}

![](/files/-LHn4ThYUa1EWYnkQUgs)

Поясніть за допомогою ліній тангенса і котангенса, чому значення цих функцій для деяких аргументів не мають змісту?

![](/files/-LHn4chRS6d2kw3HWHq_)


---

# Agent Instructions: Querying This Documentation

If you need additional information that is not directly available in this page, you can query the documentation dynamically by asking a question.

Perform an HTTP GET request on the current page URL with the `ask` query parameter:

```
GET https://oleksandr-s-l.gitbook.io/trygonometry/19.-liniyi-znachen-trigonometrichnikh-funkcii.md?ask=<question>
```

The question should be specific, self-contained, and written in natural language.
The response will contain a direct answer to the question and relevant excerpts and sources from the documentation.

Use this mechanism when the answer is not explicitly present in the current page, you need clarification or additional context, or you want to retrieve related documentation sections.