# 23. Основні тригонометричні тотожності Час переходити до вивчення закономірностей в тригонометричних функціях. ![](/files/-LHyaJYQS4mUJIhN0Vqp) Опрацюйте матеріал [**підручника з геометрії** ](https://drive.google.com/file/d/1GGr948jwS88wE803rX9h0TudwwYqGzmK/view)за 8 клас \[с.201, див. розділ "Для допитливих"]. Розберіться з виведенням трьох перших тригонометричних формул: $$\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$$ (*основна тригонометричні тотожність*) $$\tg\ \alpha=\frac{\normalsize\sin\alpha}{\normalsize\cos\alpha}$$; $$1+\tg^2\alpha=\frac{\normalsize1}{\normalsize\cos^2\alpha}$$ З цих трьох формул нескладно отримати ще п'ять. Відкрийте тепер [**підручник з алгебри**](https://drive.google.com/file/d/0BzsjxUcphaAoRVl5R3hXR1dSUDQ/view) і опрацюйте п.24 \[с.197] Вивчіть ці формули напам'ять: ![](/files/-LHydY6FmDe8tuTumg0r) ![](/files/-LHydaVARwGCEc2RLacc) ![](/files/-LHydexDJmRGLUi6He9r) {% hint style="info" %} Розгляньте ці формули спочатку кожну окремо, а потім порівняйте ті, що розміщені по вертикалях і по горизонталях. Якщо знайдете взаємозв'язок між деякими з них – запам'ятати їх буде легше. {% endhint %} Перевірити, як вивчено ці формули можна [**тут**](http://learningapps.org/view3756038). Основні тригонометричні тотожності служать для спрощення тригонометричних виразів під час обчислення їх значень. Приклади застосування цих формул розберіть [**за підручником**](https://drive.google.com/file/d/0BzsjxUcphaAoRVl5R3hXR1dSUDQ/view) \[с.198-199 Приклади 1-4]. ![](/files/-LHye526inGTEbL3s-bK) В перетвореннях тригонометричних виразів, чим Ви і будете займатися до кінця вивчення теми, немає нічого складного. **Принцип такий:** 1. Дивимось уважно на вираз, який нам пропонують в умові, і знаходимо, які тригонометричні формули (і формули скороченого множення, так-так, вони теж часто використовуються для перетворення тригонометричних виразів – повторіть їх!) можна використати в даному прикладі. 2. Заміняємо компоненти виразу компонентами формул, які підходять, виконуємо алгебраїчні перетворення (розкриваємо дужки, зводимо подібні доданки, скорочуємо дроби, тощо). 3. Знову виконуємо п.1 і так доти, доки вираз не буде спрощено. Як правило, перетворення виразів не вимагає якихось спеціальних методів чи способів. Слід тільки повністю покластися на саму математику і виконувати ті дії, які вона нас "просить" виконати. Звичайно ж для того, щоб чути "прохання" слід знати мову, якою "говорить" наука. Ця мова – мова формул, теорем, правил. Той, хто їх знає – добре розуміє і мову математики. Отже, "прислухайтесь" до прикладу! "Чуєте" його? Що він Вам "радить" зробити? ![](/files/-LHyejf89q-T4C4oLtep) {% tabs %} {% tab title="Завдання" %} **23.1. Спростити вирази:** > 1. $$\frac{\normalsize1+\ctg\alpha}{\normalsize1+\tg\alpha};$$ > 2. $$\frac{\normalsize1-\sin^2\alpha}{\normalsize1-\cos^2\alpha}+\tg\ \alpha \cdot \ctg\ \alpha;$$ > 3. $$\cos\ \alpha\cdot \tg\ \alpha+\sin\ \alpha;$$ > 4. $$\frac{\normalsize\tg\alpha+\tg\beta}{\normalsize\ctg\alpha+\ctg\beta}$$; > 5. $$\sin^2\alpha+\cos^2\alpha+\ctg^2\alpha$$; > 6. $$1+\tg^2\alpha+\tg^2\alpha(\cos^2\alpha-1)$$; > 7. $$\frac{\normalsize1}{\normalsize\cos^2\alpha}-\tg^2\alpha(\cos^2\alpha+1)$$; > 8. $$\sin^4\alpha+\sin^2\alpha \cdot \cos^2\alpha-\sin^2\alpha+1$$; > 9. $$\frac{\normalsize\sin^2\alpha}{\normalsize1+\cos\ \alpha}$$; > 10. $$\frac{\normalsize\tg\alpha}{\normalsize\sin\alpha}-\frac{\normalsize\sin\alpha}{\normalsize\ctg\alpha}-\cos\ \alpha$$; > 11. $$\frac{\normalsize\tg\alpha}{\normalsize1-\tg^2\alpha}\cdot \frac{\normalsize1-\ctg^2\alpha}{\normalsize\ctg\alpha}$$; > 12. $$\tg\alpha+\frac{\normalsize\cos^3\alpha-\sin^3\alpha}{\normalsize(1+\sin\alpha\cos\alpha)\cos\ \alpha}$$; > 13. $$\frac{\normalsize1-\sin^6\alpha-\cos^6\alpha}{\normalsize1-\sin^4\alpha-\cos^4\alpha}$$; > 14. $$\frac{\normalsize\sin^2\alpha+\tg\alpha}{\normalsize\cos^2\alpha+\ctg\alpha}\cdot \tg^2\alpha$$; > 15. $$\left(\tg^2\alpha-\frac{\normalsize\sin^2\alpha-\tg^2\alpha}{\normalsize\cos^2\alpha}\right)\cdot \cos^2\alpha\ \ctg^2\alpha$$; > 16. $$\sqrt{\frac{\normalsize8}{\normalsize1+\cos\alpha}+\frac{\normalsize8}{\normalsize1-\cos\alpha}}$$ . **23.2. Обчислити значення решти тригонометричних функцій за даним значенням однієї з них:** > 1. $$\cos\alpha=-\frac{\normalsize7}{\normalsize25}$$, $$\frac{\normalsize\pi}{\normalsize2}<\alpha<\pi$$; > 2. $$\tg x=2,\ \pi\ 3. $$\ctg x=\frac{\normalsize7}{\normalsize24},\ 180^{\circ}\ 4. $$\sin x=-\frac{\normalsize12}{\normalsize13},\ \frac{\normalsize3\pi}{\normalsize2}\ 1. $$\sin^4\alpha-\cos^4\alpha=\sin^2\alpha-\cos^2\alpha;$$ > 2. $$(1-\tg\ \alpha)^2+(1+\tg\ \alpha)^2=\frac{\normalsize2}{\normalsize\cos^2\alpha};$$ > 3. $$(\ctg^2\alpha-\cos^2\alpha)\ \tg^2\alpha=\cos^2\alpha;$$ > 4. $$\tg^2\alpha-\sin^2\alpha=\tg^2\alpha\ \sin^2\alpha;$$ > 5. $$\frac{\normalsize1+\tg^2\alpha}{\normalsize\tg^2\alpha}\cdot\frac{\normalsize\ctg^2\alpha}{\normalsize1+\ctg^2\alpha}=\frac{\normalsize1+\ctg^4\alpha}{\normalsize\tg^2\alpha+\ctg^2\alpha};$$ > 6. $$\sqrt{\frac{\normalsize1+\cos\alpha}{\normalsize1-\cos\alpha}}=\frac{\normalsize1+\cos\alpha}{\normalsize|\sin\alpha|};$$ > 7. $$\frac{\normalsize\cos^3\alpha-\sin^3\alpha}{\normalsize1+\sin\alpha\cos\alpha}=\cos\alpha-\sin\alpha;$$ > 8. $$2\tg^2\alpha=\frac{\normalsize1-\sin^4\alpha-\cos^4\alpha}{\normalsize\cos^4\alpha};$$ > 9. $$\sin^3\alpha(1+\ctg\ \alpha)+\cos^3\alpha(1+\tg\ \alpha)=\sin\ \alpha+\cos\ \alpha;$$ > 10. $$1+\frac{\normalsize\sin^4\alpha+\sin^2\alpha\ \cos^2\alpha}{\normalsize\cos^2\alpha}=\frac{\normalsize1}{\normalsize\cos^2\alpha};$$ > 11. $$1-(\sin^6\alpha+\cos^6\alpha)=3\sin^2\alpha\ \cos^2\alpha;$$ > 12. $$\frac{\normalsize\cos\alpha+\ctg\alpha}{\normalsize\ctg\alpha}+1=2\sin^2\alpha+2\cos^2\alpha+\sin\ \alpha$$. > {% endtab %} {% tab title="Підказки" %} **23.1.13.** Допоможе заміна змінної $$\sin^2\alpha=x$$, легше буде перетворювати вираз. Не забудьте тільки потім усе повернути назад. **23.1.1 і 23.1.14.** $$\tg\alpha=\frac{\normalsize\sin\alpha}{\normalsize\cos\alpha},\ \ctg\alpha=\frac{\normalsize\cos\alpha}{\normalsize\sin\alpha}$$. **23.1.15.** Представте дріб, що у дужках, у вигляді різниці двох дробів зі спільним знаменником $$\cos^2\alpha$$. **23.1.16.** Просто робіть те, що "просить" вираз: зводьте дроби під знаком кореня до спільного знаменника. Не забудьте тільки, що $$\sqrt{a^2}=|a|$$ **23.2.4.** Розглядуваний кут міститься у IV чверті, тож пам'ятаймо про знаки тригонометричних функцій! **23.3.9.** Відкриваємо дужки... **23.3.10.** За формулою $$1+\tg^2\alpha=\frac{\normalsize1}{\normalsize\cos^2\alpha}$$. Залишилось показати, що $$\frac{\normalsize\sin^4\alpha+\sin^2\alpha\cos^2\alpha}{\normalsize\cos^2\alpha}=\tg^2\alpha$$. Чого від нас це вираз "хоче"? **23.3.11.** Доведеться "повозитися" з формулою суми кубів і ще один вираз доповнити до квадрата суми... **23.3.12.** Оце якраз той випадок, коли потрібно буде перетворювати і праву, і ліву частини рівності. {% endtab %} {% tab title="Відповіді" %} **23.1.1.** $$\ctg\ \alpha$$; **23.1.2.** $$\ctg^2\alpha+1$$; **23.1.3.** $$2\sin\ \alpha$$; **23.1.4.** $$\tg\alpha\cdot\tg\beta$$; **23.1.5.** $$\frac{\normalsize1}{\normalsize\sin^2\alpha}$$; **23.1.6.** $$1+\sin^2\alpha$$; **23.1.7.** $$\cos^2\alpha$$; **23.1.8.** $$1$$; **23.1.9.** $$1-\cos\ \alpha$$; **23.1.10.** $$0$$; **23.1.11.** $$-1$$; **23.1.12.** $$1$$; **23.1.13.** $$\frac{\normalsize3}{\normalsize2}$$; **23.1.14.** $$2\tg^2\alpha$$; **23.1.15.** $$1$$; **23.1.16.** $$\frac{\normalsize4}{\normalsize|\sin\ \alpha|}$$. **23.2.1.** $$\sin\alpha=\frac{\normalsize24}{\normalsize25},\ \tg\alpha=-3\frac{\normalsize3}{\normalsize7},\ \ctg\alpha=-\frac{\normalsize7}{\normalsize24}$$;\ **23.2.2.** $$\sin\alpha=-\frac{\normalsize2}{\normalsize\sqrt5},\ \cos\alpha=-\frac{\normalsize1}{\normalsize\sqrt5},\ \ctg\alpha=\frac{\normalsize1}{\normalsize2}$$;\ **23.2.3.** $$\sin x=-\frac{\normalsize24}{\normalsize25},\ \cos x=-\frac{\normalsize7}{\normalsize25},\ \tg x=\frac{\normalsize24}{\normalsize7}$$; \ **23.2.4.** $$\cos x=\frac{\normalsize5}{\normalsize13},\ \tg x=-2\frac{\normalsize2}{\normalsize5},\ \ctg x=-\frac{\normalsize5}{\normalsize12}$$. {% endtab %} {% endtabs %} ![](/files/-LI12TBuFE2ghyxQGRWK) І знову порада. Стосовно №23.3, в якому потрібно довести тотожність. Тотожність, як відомо, – це рівність, правильна при будь-якому значенні змінної. Таким чином потрібно довести, що ліва і права частини рівні. Зробити це можна чотирма способами:\ 1\) **ЗЛІВА НАПРАВО** - шляхом тотожних перетворень **лівої** частини рівності отримати **праву**.\ 2\) **СПРАВА НАЛІВО** - шляхом тотожних перетворень **правої** частини рівності отримати **ліву**.\ 3\) **І ЗЛІВА, І СПРАВА** - шляхом тотожних перетворень **обох** частин рівності отримати рівні вирази.\ 4\) **ВІДНІМАННЯ** - від лівої частини тотожності відняти праву або від правої - ліву, якщо результат дорівнює нулю, значить, тотожність істинна.\ Яким способом користуватися? А тим, який швидше приведе до потрібного результату. ![](/files/-LI12nZkjweib5ZxOcNc) {% tabs %} {% tab title="Завдання" %} **23.4.** $$\boldsymbol {\tg\ \alpha+\ctg\ \alpha=m}$$**. Знайти:** > 1. $$\tg^2\alpha+\ctg^2\alpha$$; > 2. $$\tg^3\alpha+\ctg^3\alpha$$. **23.5. Обчислити:** > 1. $$\sin^2\alpha-\sin\ \alpha\ \cos\alpha$$, якщо $$\tg\alpha=\frac{\normalsize3}{\normalsize4}$$; > 2. $$\frac{\normalsize1}{\normalsize\sin\alpha\ \cos\alpha}$$, якщо $$\tg\alpha=\frac{\normalsize3}{\normalsize4}$$. > {% endtab %} {% tab title="Підказки" %} **23.4.1.** А спробуйте розв'язати це завдання з кінця (от тільки не треба перетворювати $$\tg^2\alpha+\ctg^2\alpha$$ – мабуть уже здогадалися, що від цього стане тільки гірше!). Що потрібно отримати? Суму квадратів? А якщо піднести до квадрата ліву і праву частини того, що дане в умові? **23.5.1.** По значенню тангенса можна обчислити косинус, а потім синус. Тільки не забудьте про "квадрати"! {% endtab %} {% tab title="Відповіді" %} **23.4.1.** $$m^2-2$$; **23.4.2.** $$m^3-3m$$; **23.5.1.** $$-\frac{\normalsize3}{\normalsize25}$$; **23.5.2.** $$2\frac{\normalsize1}{\normalsize12}$$. {% endtab %} {% endtabs %} ![](/files/-LI148MCxriMnNxCF7uL) | **"6"** |

№23.1(1-6) (по 1 балу)
№23.3(1-4) (по 1 балу)
Всього: 10 балів

| **"9"** |

№23.1(7-12) (по 2 бали)
№23.2 (по 2 бали)
№23.3(5-8) (по 2 бали)
Всього: 28 балів

| **"12"** |

№23.1(13-16) (по 3 бали)
№23.2 (по 2 бали)
№23.3(9-12) (по 3 бали)
№23.4 (по 3 бали)
№23.5 (по 3 бали)
Всього: 44 бали

| | ------- | -------------------------------------------------------------------------------------------- | ------- | ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ | -------- | ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- | --- # Agent Instructions: Querying This Documentation If you need additional information that is not directly available in this page, you can query the documentation dynamically by asking a question. Perform an HTTP GET request on the current page URL with the `ask` query parameter: ``` GET https://oleksandr-s-l.gitbook.io/trygonometry/23.-osnovni-trigonometrichni-totozhnosti.md?ask= ``` The question should be specific, self-contained, and written in natural language. The response will contain a direct answer to the question and relevant excerpts and sources from the documentation. Use this mechanism when the answer is not explicitly present in the current page, you need clarification or additional context, or you want to retrieve related documentation sections.