# 24. Формули суми і різниці двох аргументів > "Ми не можемо зрозуміти цю формулу, і ми не знаємо, що вона означає, але ми довели її і тому знаємо, що вона повинна бути достовірною" (*якийсь професор математики про одну з теорем Л.Ейлера*) В цьому уроці мова піде про нові формули, які дозволятимуть обчислити значення тригонометричних функцій для т.зв. **композицій**, тобто поворотів спочатку на кут *α*, а потім на кут *β*. ![](/files/-LI1XOsYpo0n68Xau0gU) Повернімо радіус $$OA$$, що дорівнює $$R$$, навколо точки $$O$$ спочатку на кут *α*, а потім на кут *β*. Отримаємо радіуси $$OB$$ і $$OC$$. Обчислимо тепер скалярний добуток векторів $$\overline{OB}$$ і $$\overline{OC}$$. ![](/files/-LI1XcdNdA8XFB-2ZlJf) Нехай координати точки $$B$$ дорівнюють $$(x\_1;y\_1)$$, а координати точки $$C$$ дорівнюють $$(x\_2;y\_2)$$. Оскільки початкова точка обох векторів $$O(0;0)$$, то ці самі координати матимуть і вектори $$\overline{OB}(x\_1;y\_1)$$ та $$\overline{OC}(x\_2;y\_2)$$. За означенням скалярного добутку векторів маємо: $$\overline{OB}\cdot\overline{OC}=x\_1x\_2+y\_1y\_2$$. Запишемо скалярний добуток $$\overline{OB}\cdot\overline{OC}$$ через тригонометричні функції кутів *α* і *β*. З означення косинуса і синуса випливає:\ $$x\_1=R\ \cos\alpha$$, $$y\_1=R\ \sin\alpha$$, $$x\_2=R\ \cos\beta$$, $$y\_2=R\ \sin\beta$$.\ Підставляємо значення $$x\_1, x\_2, y\_1, y\_2$$ в праву частину рівності:\ $$\overline{OB}\cdot\overline{OC}=x\_1x\_2+y\_1y\_2$$.\ Отримуємо:\ $$\overline{OB}\cdot\overline{OC}=R^2\cos\alpha\cos\beta+R^2\sin\alpha \sin\beta=R^2(\cos\alpha \cos\beta+\sin\alpha \sin\beta)$$.\ Отже, $$\overline{OB}\cdot\overline{OC}=R^2(\cos\alpha \cos\beta+\sin\alpha \sin\beta)$$. (\*) З іншого боку, за теоремою про скалярний добуток векторів маємо:\ $$\overline{OB}\cdot\overline{OC}=\left| \overline{OB}\right|\cdot\left|\overline{OC}\right|\cdot \cos\angle{BOC}=R^2\cos\angle{BOC}$$. Кут між векторами $$\overline{OB}$$ і $$\overline{OC}$$ може дорівнювати як $$\alpha-\beta$$ (якщо $$\alpha<180^{\circ}$$), так і $$2\pi-\alpha+\beta=2\pi-(\alpha-\beta)$$ (в разі якщо $$\alpha>180^{\circ}$$) або відрізнятися від цих значень на ціле число обертів.\ У будь-якому з цих випадків $$\cos\angle{BOC}=\cos(\alpha-\beta)$$.\ Тому $$\overline{OB}\cdot\overline{OC}=R^2\cos(\alpha-\beta)$$ (\*\*) ![](/files/-LI2P4zXMvgWrKphg4Z-) Співставляючи (\*) і (\*\*) і пам’ятаючи, що $$R=1$$, отримуємо рівність: {% hint style="info" %} $$\boldsymbol{\cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta}$$ {% endhint %} ![](/files/-LI2Q85b035gaaYhBkGv) **Якщо** $$\boldsymbol{\alpha<180^{\circ}}$$**, то з кутом** $$\boldsymbol BOC$$ **все зрозуміло, а як обчислено кут** $$\boldsymbol BOC$$ **в разі** $$\boldsymbol{\alpha>180^{\circ}}$$**? Чому** $$\boldsymbol{\angle BOC=2\pi-\alpha+\beta}$$**?** Щоб отримати відповідь на це запитання, погляньмо на малюнок: ![](/files/-LI2QdA0xwn5Di72IUJs) Який же з кутів між векторами $$\overline{OB}$$ і $$\overline{OC}$$ є саме тим, косинус якого слід відшукати? Зовнішній, чи внутрішній? Той, що більше за 180° чи той, що менше за 180°? Справа у тому, що **ОБИДВА**! Відповідно до означення кута. Щоб отримати кут, який зображено на малюнку нижче (зовнішній кут), потрібно від кута $$\alpha$$ відняти кут $$\beta$$. ![](/files/-LI2R8E4SwkvejTPy42C) Геометрично це виглядатиме так: ![](/files/-LI2RKH2fmjP4ixAuUoP) Що стосується іншого, меншого кута, то для того, щоб його отримати, потрібно взяти повне коло, тобто $$2\pi$$ і "вирізати" з нього кут $$\alpha$$. От уже і маємо $$2\pi-\alpha$$. Однак, та частина, що залишилась після "вирізування" менша ніж треба якраз на кут $$\beta$$. Значить потрібно тепер цей кут $$\beta$$ до отриманого кута додати. От і виходить, що $$\angle{BOC}=2\pi-\alpha+\beta$$. ![](/files/-LI2SDL2N8C5sUyIBllh) ![](/files/-LI2SIIvkpbfuj_NcMYH) **А як таке може бути, що яким би не був кут** $$\boldsymbol{BOC}$$ **(більшим за 180° чи меншим за 180°), а** $$\boldsymbol{\cos\angle{BOC}=\cos(\alpha-\beta)}$$**?**\ **Тоді ж виходить, що** $$\boldsymbol{\cos(\alpha-\beta)=\cos(2\pi-(\alpha-\beta))}$$**?..** Причина цього в тому, що від зміни кута на ціле число обертів значення косинуса (та і синуса теж) не змінюються. Кути $$\alpha$$ і $$-\alpha$$ мають однакові значення косинуса – це вже відомо з Уроку 17. А тепер побудуйте на тригонометричному колі кути $$\alpha$$ та $$2\pi-\alpha$$ і подивіться на значення косинусів цих кутів. Детальніше про такі співвідношення йтиметься в наступному уроці. ![](/files/-LI2TV4w1v__xuDuF5eO) Аналогічним чином виводять усі інші формули для тригонометричних функцій суми і різниці аргументів. Ще такі формули називають **формулами додавання**. ![](/files/-LI2TbaA5h0aQjmM3BYV) Прочитайте [**за підручником**](https://drive.google.com/file/d/1KBUWaCgCgfC4sy3K3iB_8ev-8xWn8tzZ/view) виведення іншої формули і в інший спосіб \[§10 с.79]. Розберіться також з виведенням решти тригонометричних формул суми і різниці аргументів у тому числі і [**за вашим підручником**](https://drive.google.com/file/d/0BzsjxUcphaAoRVl5R3hXR1dSUDQ/view) \[п.25 с.203]. Спробуйте вивести формули суми і різниці аргументів обома способами. Зверніть увагу на т.зв. формулу зведення $$\boldsymbol{\sin x=\cos\left(\frac{\normalsize\pi}{\normalsize2}-x\right)}$$. ![](/files/-LI2UQpAfrwlPLQbMGFc) {% hint style="success" %} $$\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta$$ \ $$\sin(\alpha-\beta)=\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta$$ $$\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta$$ \ $$\cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta$$ $$\tg(\alpha+\beta)=\frac{\normalsize\tg\alpha+\tg\beta}{\normalsize1-\tg\alpha\tg\beta}$$ \ $$\tg(\alpha-\beta)=\frac{\normalsize\tg\alpha-\tg\beta}{\normalsize1+\tg\alpha\tg\beta}$$ $$\ctg(\alpha+\beta)=\frac{\normalsize\ctg\alpha\ctg\beta-1}{\normalsize\ctg\beta+\ctg\alpha}$$ \ $$\ctg(\alpha-\beta)=\frac{\normalsize\ctg\alpha\ctg\beta+1}{\normalsize\ctg\beta-\ctg\alpha}$$ {% endhint %} Так само, як у попередньому уроку проаналізуйте формули, порівняйте їх та встановіть закономірності, щоб легше було вивчити. Зверніть увагу на однакові закономірності зміни знаків у формулах, що стосуються синусів і тангенсів, а також косинусів і котангенсів. Потренуйтеся правильно визначати праву і ліву частини формул додавання [**тут**](http://learningapps.org/view3756075) і перевірте свої знання [**тут**](http://onlinetestpad.com/t/0a2347dc5d0e450eaea7ddd2652233cf). ![](/files/-LI2UhBYGBElceQGa7CN) Перейдіть до розбору прикладів на застосування виведених формул [**за підручником**](https://drive.google.com/file/d/0BzsjxUcphaAoRVl5R3hXR1dSUDQ/view) \[с.205-207 Приклади 1-5]. ![](/files/-LI2V1JtUQpmmGrOzApk) {% tabs %} {% tab title="Завдання" %} **Обчислити значення виразів, не користуючись таблицями Брадіса чи калькулятором** (по 1 балу)**:** **24.1.** $$\sin15^{\circ}$$;\ **24.2.** $$\tg105^{\circ}$$;\ **24.3.** $$\cos38^{\circ}\cos22^{\circ}-\sin38^{\circ}\sin22^{\circ}$$;\ **24.4.** $$\sin12^{\circ}\cos18^{\circ}+\cos12^{\circ}\sin18^{\circ}$$;\ **24.5.** $$\sin142^{\circ}\cos52^{\circ}-\cos142^{\circ}\sin52^{\circ}$$. **Спростити вирази** (по 2 бали)**:** **24.6.** $$\cos2\varphi \cos\varphi+\sin2\varphi \sin\varphi$$;\ **24.7.** $$\sin3\gamma \cos\gamma-\cos3\gamma\sin\gamma$$;\ **24.8.** $$\sin\left(\alpha+\frac{\normalsize\pi}{\normalsize6}\right)\cos\left(\alpha-\frac{\normalsize\pi}{\normalsize6}\right)+\cos\left(\alpha+\frac{\normalsize\pi}{\normalsize6}\right)\sin\left(\alpha-\frac{\normalsize\pi}{\normalsize6}\right)$$;\ **24.9.** $$\cos\left(\frac{\normalsize\pi}{\normalsize4}+\beta\right)\cos\left(\frac{\normalsize\pi}{\normalsize4}-\beta\right)-\sin\left(\frac{\normalsize\pi}{\normalsize4}+\beta\right)\sin\left(\frac{\normalsize\pi}{\normalsize4}-\beta\right)$$ **Довести тотожність** (по 2 бали)**:** **24.10.** $$\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)=2\sin\alpha\cos\beta$$;\ **24.11.** $$\cos(\alpha-\beta)-\cos(\alpha+\beta)=2\sin\alpha\sin\beta$$;\ **24.12.** $$\sin(\alpha+\beta)\sin(\alpha-\beta)=\sin^2\alpha-\sin^2\beta$$.\ \ **Виконати завдання:** **24.13.** Знайдіть $$\sin(\alpha+\beta)$$, якщо $$\sin\alpha=\frac{\normalsize9}{\normalsize41}$$, $$\sin\beta=-\frac{\normalsize40}{\normalsize41}$$, $$\alpha$$ – кут ІІ чверті, а $$\beta$$ – кут IV чверті. (2 бали)\ **24.14.** Довести, що $$\alpha+\beta+\gamma=\frac{\normalsize\pi}{\normalsize4}$$, якщо кути $$\alpha,\beta,\gamma$$ менші від $$\frac{\normalsize\pi}{\normalsize4}$$ та $$\tg\alpha=\frac{\normalsize1}{\normalsize12}$$, $$\tg\beta=\frac{\normalsize2}{\normalsize5}$$, $$\tg\gamma=\frac{\normalsize1}{\normalsize3}$$. (3 бали) **Обчислити:** **24.15.** $$\sin21^{\circ}\cos9^{\circ}+\cos21^{\circ}\sin9^{\circ}$$; (2 бали)\ **24.16.** $$\cos18^{\circ}\cos63^{\circ}+\sin18^{\circ}\sin63^{\circ}$$; (2 бали)\ **24.17.** $$\sin278^{\circ}\cos68^{\circ}-\cos278^{\circ}\sin68^{\circ}$$; (2 бали)\ **24.18.** $$\cos32^{\circ}\cos58^{\circ}-\sin32^{\circ}\sin58^{\circ}$$; (2 бали)\ **24.19.** Відомо, що $$\alpha$$ і $$\beta$$ – кути ІІ чверті і $$\sin\alpha=\frac{\normalsize4}{\normalsize5}$$, $$\cos\beta=-\frac{\normalsize15}{\normalsize17}$$. Знайдіть: > а) $$\sin(\alpha+\beta)$$; (3 бали)\ > б) $$\sin(\alpha-\beta)$$; (3 бали)\ > в) $$\cos(\alpha-\beta)$$; (3 бали)\ > г) $$\cos(\alpha+\beta)$$; (3 бали) **Спростити вирази:** **24.20.** $$\frac{\normalsize\cos(\alpha-\beta)+\sin\alpha\sin\beta}{\normalsize\cos(\alpha-\beta)-\sin\alpha\sin\beta}$$ (3 бали)\ **24.21.** $$\frac{\normalsize\cos(\alpha-\beta)-2\sin\alpha\sin\beta}{\normalsize2\sin\alpha\cos\beta-\sin(\alpha-\beta)}$$ (3 бали) {% endtab %} {% tab title="Підказки" %} Власне, допомога тут може бути потрібна лише до завдань **24.1.**, **24.2.** і **24.14.** Розглянемо їх по порядку. **24.1.**, **24.2.** – спробуйте представити 15° і 105° у вигляду суми чи різниці таких кутів, значення тригонометричних функцій яких відомі. Наприклад, 15=45-30 Щодо **24.14.**, то розв’язати його допоможе формула тангенса суми двох аргументів. Аргументів три? Так що заважає застосувати її двічі: спочатку для $$\alpha+\beta$$, а потім для $$(\alpha+\beta)+\gamma$$. {% endtab %} {% tab title="Відповіді" %} ![](/files/-LI2drHmbVfTMShXwoOu) {% endtab %} {% endtabs %} ![](/files/-LI2e1lf4YyNSBW-DcHI) | **"6":** | 25 балів | **"9":** | 37 балів | **"12":** | 50 балів | | -------- | -------- | -------- | -------- | --------- | -------- | --- # Agent Instructions: Querying This Documentation If you need additional information that is not directly available in this page, you can query the documentation dynamically by asking a question. Perform an HTTP GET request on the current page URL with the `ask` query parameter: ``` GET https://oleksandr-s-l.gitbook.io/trygonometry/24.-formuli-sumi-i-riznici-dvokh-argumentiv.md?ask= ``` The question should be specific, self-contained, and written in natural language. The response will contain a direct answer to the question and relevant excerpts and sources from the documentation. Use this mechanism when the answer is not explicitly present in the current page, you need clarification or additional context, or you want to retrieve related documentation sections.