# 25. Формули зведення ![](/files/-LI2j2sB4jPURs-F3xDp) Якщо у [**тригонометричній функції суми або різниці аргументів**](https://sch10.gitbook.io/trygonometry/24.-formuli-sumi-i-riznici-dvokh-argumentiv) один з кутів у дужках дорівнює $$\frac{\normalsize\pi}{\normalsize2},\ \pi,\ \frac{\normalsize3\pi}{\normalsize2}$$ або $$2\pi$$ (90°, 180°, 270°, 360°), то тоді значення двох тригонометричних функцій у формулі суми та різниці нам відоме, а значить обчислення виразів не становить труднощів: ![](/files/-LI2jrO_OSq0kjpxCvpP) $$\sin\left(\frac{\normalsize3\pi}{\normalsize2}+\alpha\right)=\sin\frac{\normalsize3\pi}{\normalsize2}\cos\alpha+\cos\frac{\normalsize3\pi}{\normalsize2}\sin\alpha=-1\cdot\cos\alpha+0\cdot\sin\alpha=-\cos\alpha$$ Як бачимо, завдяки наявності одного з кутів, що дорівнює 270° можемо значення його синуса (косинуса) не обчислювати зовсім, а одразу заміняти умову завдання на відповідь: $$\sin\left(\frac{\normalsize3\pi}{\normalsize2}+\alpha\right)=-\cos\alpha$$. Аналогічним же чином можна вивести і всі інші формули такого типу. Між іншим, саме тому ці формули і називаються "формулами зведення", що вони "зводять" тригонометричні функції кутів виду $$\frac{\normalsize\pi}{\normalsize2}\pm\alpha$$, $$\pi\pm\alpha$$, $$\frac{\normalsize3\pi}{\normalsize2}\pm\alpha$$ і $$2\pi\pm\alpha$$ до тригонометричних функцій кута $$\alpha$$ . Всі формули зведення можна звести ось в таку таблицю: ![](/files/-LI2lJldL3QPcx07fLCl) ![](/files/-LI2lNL8V-Evr6dsdGfu) Як користуватися цією таблицею зрозуміло з самої таблиці. В крайньому лівому стовпці знаходимо функцію, в верхньому рядку – аргумент, на перетині рядка і стовпця функцію, до якої зводиться формула і її знак. ![](/files/-LI2lWq-09Knzjg7ak0M) Формул тут, як бачимо, аж 32 і пам'ятати їх потрібно. Як же їх "запхнути" у свою бідолашну пам'ять? Отут нам на допомогу знову прийде наш знайомий слоник з курсу геометрії 9 класу. Той самий, який махає головою згори вниз для тригонометричних функцій, що пов'язані з кутами 90° та 270° і справа наліво для тригонометричних функцій, що пов'язані з кутами 180° і 360°. ![](http://mathland.at.ua/DistanceCourses/Trigonometry/Lesson25/tr2509.gif) Отже, ще раз розберемося в цьому **мнемонічному** правилі. Щоб правильно записати формулу, нам потрібно відповісти на два запитання:\ 1\) змінювати назву функції на **ко**функцію (синус на **ко**синус, тангенс на **ко**тангенс) і навпаки чи ні?;\ 2\) який знак поставити перед результатом: "плюс" чи "мінус"?\ Щоб відповісти на перше запитання, потрібно подивитися, в якому напрямку слоник розмахуватиме головою.\ Якщо аргумент функції має вигляд $$\frac{\normalsize\pi}{\normalsize2}\pm\alpha$$ або $$\frac{\normalsize3\pi}{\normalsize2}\pm\alpha$$, то базові значення цих аргументів належать осі Оу (це кути 90° і 270°) і тоді, рухаючись уздовж вісі ординат слоник розмахуватиме головою згори вниз, відповідаючи на перше запитання ствердно: **"Так, змінювати!":** ![](/files/-LI2lvOop1TZJW_bgKoC) Отже, УСІ тригонометричні функції аргументів, що мають вигляд типу $$\frac{\normalsize\pi}{\normalsize2}\pm\alpha$$ або $$\frac{\normalsize3\pi}{\normalsize2}\pm\alpha$$, **змінюють** свою назву.\ Якщо ж аргумент функції має вигляд $$\pi\pm\alpha$$ чи $$2\pi\pm\alpha$$, тоді базові значення цих аргументів (180° і 360°) належать осі Ох і, рухаючись уздовж вісі абсцис, слоник розмахуватиме головою по горизонталі, відповідаючи на перше запитання заперечно: **"Ні, не змінювати!":** ![](/files/-LI2m3zerrm50h8v5KtS) Щоб правильно поставити **знак** результату потрібно лише подивитися на те, в якій чверті опиняється кут **початкової** функції і поставити у відповіді той знак, який матиме сама **початкова** функція у цій чверті: ![](/files/-LI2miQlyiaxusFFHsm4) ![](/files/-LI2mnI2M6pLR8nn4bRU) Запишемо формулу для $$\sin\left(\frac{\normalsize3\pi}{\normalsize2}-\alpha\right)$$. 1\) ФУНКЦІЯ\ Оскільки аргумент цієї функції має базове значення $$\frac{\normalsize3\pi}{\normalsize2}=270^{\circ}$$, яке розміщене на вісі ординат, то назва функції змінюється на кофункцію (косинус) (слоник махає головою згори вниз, що означає "ТАК"). 2\) ЗНАК\ Кут $$\left(\frac{\normalsize3\pi}{\normalsize2}-\alpha\right)$$ – це кут ІІІ координатної чверті. Оскільки синус (**початкова функція**, тобто, функція-умова) там від'ємний, то від'ємним буде і значення функції-результату. Таким чином маємо, що: $$\sin\left(\frac{\normalsize3\pi}{\normalsize2}-\alpha\right)=-\cos\alpha$$. ![](/files/-LI2n-bfH7QVR6QUZFg9) Прочитайте [**за підручником**](https://drive.google.com/file/d/0BzsjxUcphaAoRVl5R3hXR1dSUDQ/view) п.26 \[с.211] Розберіться також і з геометричною ілюстрацією до формул зведення: ![](/files/-LI2nRJE38MGC7LkcB-4) ![](/files/-LI2nUsL5PiQHDSzGx2Y) Між іншим, деякі з формул зведення мають ще й геометричне підтвердження, до якого тригонометричне коло не причетне. От зверніть увагу на дивовижну появу формул зведення [**у звичайному прямокутному трикутнику**](https://drive.google.com/file/d/1nafw2xIHVTQEQhRSGxDDcG1bC3lImjvy/view) \[п.69 на с.104] ![](/files/-LI2p9DgRMAATgdO9IDA) {% tabs %} {% tab title="Завдання" %} **Знайти значення виразів:** **25.1¹.** $$\frac{\normalsize\tg(180^{\circ}-\alpha)\cos(180^{\circ}-\alpha)\tg(90^{\circ}-\alpha)}{\normalsize\sin(90^{\circ}+\alpha)\ctg(90^{\circ}+\alpha)\tg(90^{\circ}+\alpha)}$$ (2 бали) **25.2¹.** $$\frac{\normalsize\sin\left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right)+\cos\left(\frac{3\pi}{2}-\alpha\right)}{\normalsize\ctg(\pi+\alpha)+\tg(2\pi-\alpha)}-\frac{\normalsize\sin(\pi-\alpha)\sin\left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right)}{\normalsize\cos(-\alpha)-\cos\left(\frac{3\pi}{2}-\alpha\right)}$$ (2 бали) **Довести:** **25.3¹.** $$\frac{\normalsize\sin(\pi-\alpha)}{\normalsize\tg(\pi+\alpha)}\cdot\frac{\normalsize\ctg\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)}{\normalsize\tg\left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right)}\cdot\frac{\normalsize\cos(2\pi-\alpha)}{\normalsize\sin(-\alpha)}=\sin\alpha$$ (2 бали) **25.4².** $$\begin{array}{l}\cos^2(\alpha-90^{\circ})+\ctg^2(\alpha-270^{\circ})=\frac{\normalsize1}{\normalsize\sin^2(\alpha+90^{\circ})}-\cos^2(\alpha+180^{\circ})\end{array}$$\ (3 бали) **25.5².** $$\begin{array}{l}\left(\sin\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)+\sin(\pi-\alpha)\right)^2+\left(\cos\left(\frac{3\pi}{2}-\alpha\right)+\cos(2\pi-\alpha)\right)^2=2\end{array}$$(3 бали) **25.6³.** $$\alpha,\beta,\gamma$$ – кути трикутника. Доведіть, що в даному випадку справедлива така рівність: $$\sin\gamma=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta$$ (4 бали) **25.7³.** $$\frac{\normalsize\sin(\alpha-\pi)\cos(\alpha-2\pi)\tg\left(\frac{3\pi}{2}+\alpha\right)}{\normalsize\sin\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)\ctg(\pi-\alpha)\cosec(2\pi-\alpha)}=\sin^2\alpha$$ (4 бали) **25.8³.** $$\frac{\normalsize\sin(\pi+\alpha)\cos\left(\frac{3\pi}{2}-\alpha\right)\tg\left(\alpha-\frac{\pi}{2}\right)}{\normalsize\cos\left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right)\cos\left(\frac{3\pi}{2}+\alpha\right)\tg(\pi+\alpha)}=\ctg^2\alpha$$ (4 бали) **25.9³.** $$\frac{\normalsize1-\tg(90^{\circ}+\alpha)}{\normalsize1+\ctg(360^{\circ}-\alpha)}=\frac{\normalsize\tg(180^{\circ}+\alpha)+1}{\normalsize\ctg(270^{\circ}-\alpha)-1}$$ (4 бали) {% endtab %} {% tab title="Підказки" %} **25.4.** У формулах зведення на першому місці стоїть 90°, а на другому α. Значить, перш за все потрібно поміняти їх місцями. Тільки не забудьте врахувати знаки (хоча, там квадрати…). І ще, подумайте, яким з трьох способів краще всього доводити цю тотожність. Подивіться на те, які великі вирази справа і зліва від знака рівності. **25.6.** Щоб дорозв’язувати завдання пригадайте, чому дорівнює сума кутів трикутника. **25.7.** Пригадайте означення косеканса ([**Урок 20**](https://sch10.gitbook.io/trygonometry/20.-deyaki-inshi-trigonometrichni-funkciyi)) {% endtab %} {% tab title="Відповіді" %} **25.1.** $$0$$; **25.2.** $$0$$ {% endtab %} {% endtabs %} ![](/files/-LI2q40Czi5n5IjKvO-N) | **"6":** | 6 балів | **"9":** | 12 балів | **"12":** | 18 балів | | -------- | ------- | -------- | -------- | --------- | -------- | ![](/files/-LI2qBRy5q-DQW1AZNu_) --- # Agent Instructions: Querying This Documentation If you need additional information that is not directly available in this page, you can query the documentation dynamically by asking a question. Perform an HTTP GET request on the current page URL with the `ask` query parameter: ``` GET https://oleksandr-s-l.gitbook.io/trygonometry/25.-formuli-zvedennya.md?ask= ``` The question should be specific, self-contained, and written in natural language. The response will contain a direct answer to the question and relevant excerpts and sources from the documentation. Use this mechanism when the answer is not explicitly present in the current page, you need clarification or additional context, or you want to retrieve related documentation sections.