# 27. Тригонометричні функції подвійного аргументу

![](/files/-LI6kdguPelzr7F7T_Op)

{% tabs %}
{% tab title="Завдання" %}
Знаючи тригонометричні [**формули суми аргументів**](https://sch10.gitbook.io/trygonometry/24.-formuli-sumi-i-riznici-dvokh-argumentiv), самостійно виведіть формули для тригонометричних функцій виду 2*α*.
{% endtab %}

{% tab title="Підказки" %}
Віриться, що відкрили ви підказку тільки од великої безвиході або великого дефіциту часу, адже завдання зовсім простеньке – треба лише подумати. Добре, ось вам підказка: 2*α*=*α*+*α*, значить, sin2*α*=sin(*α*+*α*)=...
{% endtab %}

{% tab title="Відповіді" %}
![](/files/-LI6lOMTxiWSaOWMMhFc)

![](/files/-LI6lRoSqX_rqsrqIPvO)
{% endtab %}
{% endtabs %}

![](/files/-LI6lYCnFrirVERiS89W)

{% hint style="warning" %}
Формули $$\sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha$$ і $$\cos2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha$$ справджуються для будь-яких значень аргументу $$\alpha$$, а от формули $$\tg2\alpha=\frac{\normalsize2\tg\alpha}{\normalsize1-\tg^2\alpha}$$ і $$\ctg2\alpha=\frac{\normalsize\ctg^2\alpha-1}{\normalsize2\ctg\alpha}$$ – лише для тих, для яких існують $$\tg^2\alpha$$, $$\tg\alpha$$ і $$1-\tg^2\alpha\ne0$$ ( $$\ctg^2\alpha,\ctg\alpha$$ і $$\ctg\alpha\ne0$$ відповідно).\
А які це значення кутів? Спробуйте відповісти по пам'яті.
{% endhint %}

![](/files/-LI6nOCdQCJwttmIUPO2)

{% hint style="info" %}
 В такий же спосіб нескладно вивести, за потреби, і формули для кутів $$3\alpha$$, $$4\alpha$$ і т.д. Потрібно лише певну кількість разів використати формулу суми аргументів.
{% endhint %}

![](/files/-LI6n_dDQ25WCrMzuJQP)

{% tabs %}
{% tab title="Завдання" %}
**27.1.** Знайти значення $$\sin2\alpha$$, якщо $$\cos\alpha=-0,8$$ і $$\alpha$$ ─ кут ІІ чверті.

**27.2.** Скоротити дроби:

> а) $$\frac{\normalsize\sin40^{\circ}}{\normalsize\sin20^{\circ}}$$;
>
> б) $$\frac{\normalsize\sin100^{\circ}}{\normalsize\cos50^{\circ}}$$;
>
> в) $$\frac{\normalsize\cos80^{\circ}}{\normalsize\cos40^{\circ}+\sin40^{\circ}}$$;
>
> г) $$\frac{\normalsize\cos36^{\circ}+\sin^218^{\circ}}{\normalsize\cos18^{\circ}}$$. 

**27.3.** Спростити вираз:

> а) $$2\sin20^{\circ}\cos20^{\circ}$$; 
>
> б) $$\cos^2\frac{\normalsize\pi}{\normalsize10}-\sin^2\frac{\normalsize\pi}{\normalsize10}$$; 
>
> в) $$\frac{\normalsize2\tg5^{\circ}}{\normalsize1-\tg^25^{\circ}}$$; 
>
> г) $$2\sin\frac{\normalsize\pi-\alpha}{\normalsize2}\cos\frac{\normalsize\pi-\alpha}{\normalsize2}$$; 
>
> д) $$2\cos^2\frac{\normalsize\pi+\alpha}{\normalsize4}-2\sin^2\frac{\normalsize\pi+\alpha}{\normalsize4}$$; 
>
> е) $$\frac{\normalsize2\tg\frac{3\pi-\alpha}{2}}{\normalsize1-\tg^2\frac{3\pi-\alpha}{2}}$$; 
>
> є) $$4\sin\frac{\normalsize\alpha}{\normalsize2}\sin\frac{\normalsize\pi-\alpha}{\normalsize2}\sin\left(\frac{\normalsize3\pi}{\normalsize2}-\alpha\right)$$; 
>
> ж) $$\frac{\normalsize(\sin\beta+\cos\beta)^2}{\normalsize1+\sin2\beta}$$; 
>
> з) $$\frac{\normalsize\sin^2\varphi\ctg\varphi}{\normalsize\sin2\varphi}$$; 
>
> и) $$\left(\frac{\normalsize\cos\beta}{\normalsize1+\sin\beta}+\frac{\normalsize\cos\beta}{\normalsize1-\sin\beta}\right)\sin2\beta$$; 
>
> і) $$\frac{\normalsize2\cos^2\alpha\tg\alpha}{\normalsize\cos^2\alpha-\sin^2\alpha}$$; 
>
> ї) $$\frac{\normalsize1}{\normalsize1-\tg\varphi}-\frac{\normalsize1}{\normalsize1+\tg\varphi}$$. 

**27.4.** Знайти значення виразу:

> а) $$2\sin165^{\circ}\cos165^{\circ}$$; 
>
> б) $$\cos^275^{\circ}-\sin^275^{\circ}$$; 
>
> в) $$\frac{\normalsize2\tg240^{\circ}}{\normalsize1-\tg^2240^{\circ}}$$. 
> {% endtab %}

{% tab title="Відповіді" %}
**27.1.** $$-0,96$$ ;

**27.2.** а) $$2\cos20^{\circ}$$,  б) $$2\sin50^{\circ}$$,  в) $$\cos40^{\circ}-\sin40^{\circ}$$,  г) $$\cos18^{\circ}$$ ;

**27.3.** а) $$\sin40^{\circ}$$,  б) $$\cos\frac{\normalsize\pi}{\normalsize5}$$,  в) $$\tg10^{\circ}$$,  г) $$\sin\alpha$$,  д) $$-2\sin\frac{\normalsize\alpha}{\normalsize2}$$,  е) $$-\tg\alpha$$,\
є) $$-\sin2\alpha$$,  ж) $$1$$,  з) $$0,5$$,  и) $$4\sin\beta$$,  і) $$\tg2\alpha$$,  ї) $$\tg2\varphi$$;

**27.4.** а) $$-\frac{\normalsize1}{\normalsize2}$$,  б) $$-\frac{\normalsize\sqrt3}{\normalsize2}$$,  в) $$-\sqrt3$$.
{% endtab %}
{% endtabs %}

![](/files/-LI6oJHuaSTeVSpRinK_)

За кожне правильно розв'язане завдання отримуєте по 2 бали:

| **"6":** | 20 балів | **"9":** | 30 балів | **"12":** | 40 балів |
| -------- | -------- | -------- | -------- | --------- | -------- |

 **P.S.** А що, ця формула на футболці теж правильна? Доведіть. (*4 бали*)

![](/files/-LI6oVV6BeovMMhitbdO)


---

# Agent Instructions: Querying This Documentation

If you need additional information that is not directly available in this page, you can query the documentation dynamically by asking a question.

Perform an HTTP GET request on the current page URL with the `ask` query parameter:

```
GET https://oleksandr-s-l.gitbook.io/trygonometry/27.-trigonometrichni-funkciyi-podviinogo-argumentu.md?ask=<question>
```

The question should be specific, self-contained, and written in natural language.
The response will contain a direct answer to the question and relevant excerpts and sources from the documentation.

Use this mechanism when the answer is not explicitly present in the current page, you need clarification or additional context, or you want to retrieve related documentation sections.