# 28. Формули половинного аргументу
Тригонометричних формул, як Ви вже здогадались, досить-таки велика кількість. Багато одних формул виводяться за допомогою інших. Так, формули подвійного аргументу були виведені за допомогою формул суми аргументів. Використовуючи формули подвійного аргументу можемо вивести формули половинного аргументу, тобто для функцій з аргументом виду $$\frac{\alpha}{2}$$.
Розглянемо формулу $$\cos2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha$$. Замінивши у ній аргумент $$\alpha$$ на $$\frac{\normalsize\alpha}{\normalsize2}$$, отримаємо $$\cos\left(2\cdot\frac{\normalsize\alpha}{\normalsize2}\right)=\cos^2\frac{\normalsize\alpha}{\normalsize2}-\sin^2\frac{\normalsize\alpha}{\normalsize2}$$.
Переписати через аргументи половинного кута можна також і основну тригонометричну тотожність $$\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$$, а саме: $$1=\sin^2\frac{\normalsize\alpha}{\normalsize2}+\cos^2\frac{\normalsize\alpha}{\normalsize2}$$.
**Додамо** почленно $$1=\sin^2\frac{\normalsize\alpha}{\normalsize2}+\cos^2\frac{\normalsize\alpha}{\normalsize2}$$ до\
$$\cos\left(2\cdot\frac{\normalsize\alpha}{\normalsize2}\right)=\cos^2\frac{\normalsize\alpha}{\normalsize2}-\sin^2\frac{\normalsize\alpha}{\normalsize2}$$.
Маємо:\
$$\cos\alpha+1=\cos^2\frac{\normalsize\alpha}{\normalsize2}-\sin^2\frac{\normalsize\alpha}{\normalsize2}+\sin^2\frac{\normalsize\alpha}{\normalsize2}+\cos^2\frac{\normalsize\alpha}{\normalsize2}=2\cos^2\frac{\normalsize\alpha}{\normalsize2}$$.
Виділивши $$\cos^2\frac{\normalsize\alpha}{\normalsize2}$$ отримуємо: $$\cos^2\frac{\normalsize\alpha}{\normalsize2}=\frac{\normalsize1+\cos\alpha}{\normalsize2}$$, або\
$$\cos\frac{\normalsize\alpha}{\normalsize2}=\pm\sqrt{\frac{\normalsize1+\cos\alpha}{\normalsize2}}$$.
Якщо почленно **відняти** вказані формули (від $$1=\sin^2\frac{\normalsize\alpha}{\normalsize2}+\cos^2\frac{\normalsize\alpha}{\normalsize2}$$ відняти $$\cos\left(2\cdot\frac{\normalsize\alpha}{\normalsize2}\right)=\cos^2\frac{\normalsize\alpha}{\normalsize2}-\sin^2\frac{\normalsize\alpha}{\normalsize2}$$), то отримаємо формулу для синуса половинного аргументу: $$\sin\frac{\normalsize\alpha}{\normalsize2}=\pm\sqrt{\frac{\normalsize1-\cos\alpha}{\normalsize2}}$$.
Оскільки $$\tg\alpha=\frac{\normalsize\sin\alpha}{\normalsize\cos\alpha}$$, $$\ctg\alpha=\frac{\normalsize\cos\alpha}{\normalsize\sin\alpha}$$, то **розділивши** отримані рівності для половинного аргументу матимемо формули для тангенса і котангенса половинного аргументу: $$\tg\frac{\normalsize\alpha}{\normalsize2}=\pm\sqrt{\frac{\normalsize1-\cos\alpha}{\normalsize1+\cos\alpha}}$$ і $$\ctg\frac{\normalsize\alpha}{\normalsize2}=\pm\sqrt{\frac{\normalsize1+\cos\alpha}{\normalsize1-\cos\alpha}}$$.
**Обчислити sin15°**
Cкористаємося формулою $$\sin\frac{\normalsize\alpha}{\normalsize2}=\pm\sqrt{\frac{\normalsize1-\cos\alpha}{\normalsize2}}$$ . Оскільки $$15=\frac{\normalsize30}{\normalsize2}$$, то маємо:
$$\begin{array}{l}\sin\frac{\normalsize30^{\circ}}{\normalsize2}=\pm\sqrt{\frac{\normalsize1-\cos30^{\circ}}{\normalsize2}}=\pm\sqrt{\frac{\normalsize1-\frac{\sqrt3}{2}}{\normalsize2}}=\pm\sqrt{\frac{\normalsize\frac{2-\sqrt3}{2}}{\normalsize2}}=\\=\pm\sqrt{\frac{\normalsize2-\sqrt3}{\normalsize4}}=\pm\frac{\normalsize\sqrt{2-\sqrt3}}{\normalsize2}\end{array}$$
Оскільки кут 15° належить І координатній чверті, то sin15° додатний.\
Значить, $$\sin15^{\circ}=\frac{\normalsize\sqrt{2-\sqrt3}}{\normalsize2}$$.
**А в** [**довіднику**](http://mathland.at.ua/index/znachennja_trigonometrichnikh_funkcij/0-10) **для sin15° наводиться інше значення:** $$\boldsymbol{\frac{\normalsize\sqrt6-\sqrt2}{\normalsize4}}$$**. Як його отримано?**
Для цього потрібно лише додуматися як у виразі $$2-\sqrt3$$ виділити повний квадрат різниці.
Зробити це можна, наприклад, так:
{% tabs %}
{% tab title="Завдання" %}
**28.1. Обчислити:**
а) $$\cos15^{\circ}$$; б) $$\tg75^{\circ}$$; в) $$\sin165^{\circ}$$; г) $$\ctg67^{\circ}30'$$ (*по 1 балу*)\
д) $$\sin75^{\circ}\sin15^{\circ}$$; е) $$\sin37^{\circ}30'\sin7^{\circ}30'$$ (*по 2 бали*)
**28.2. Спростити вираз:**
$$\sqrt{0,5-0,5\sqrt{0,5+0,5\cos\alpha}}$$, якщо $$0\le\alpha\le2\pi$$ (*4 бали*)
{% endtab %}
{% tab title="Підказки" %}
**28.1.** $$67^{\circ}30'=67,5^{\circ}=\frac{\normalsize135^{\circ}}{\normalsize2}$$.
**28.2.** а) Винесіть спільний множник під внутрішнім знаком кореня, потім суму $$1+\cos\alpha$$ перетворіть за формулою половинного аргументу. Зверніть увагу: $$\sqrt{a^2}=|a|$$. Потім розгляньте значення тригонометричної функції відповідно до проміжку, заданого в умові задачі (хоча, якщо придивитися до знаків функції на вказаному проміжку, то цей проміжок можна розбити на два).
{% endtab %}
{% tab title="Відповіді" %}
{% endtab %}
{% endtabs %}
| **"6":** | 6 балів | **"9":** | 9 балів | **"12":** | 12 балів |
| -------- | ------- | -------- | ------- | --------- | -------- |
---
# Agent Instructions: Querying This Documentation
If you need additional information that is not directly available in this page, you can query the documentation dynamically by asking a question.
Perform an HTTP GET request on the current page URL with the `ask` query parameter:
```
GET https://oleksandr-s-l.gitbook.io/trygonometry/28.-formuli-polovinnogo-argumentu.md?ask=
```
The question should be specific, self-contained, and written in natural language.
The response will contain a direct answer to the question and relevant excerpts and sources from the documentation.
Use this mechanism when the answer is not explicitly present in the current page, you need clarification or additional context, or you want to retrieve related documentation sections.