# 29. Контрольні завдання

![](/files/-LI7qI7FuTXr7v2JyHWM)

{% tabs %}
{% tab title="Завдання" %}

1. Обчисліть $$\sin4\alpha$$, якщо $$\ctg2\alpha=-2$$. (*2 бали*)
2. Обчислити $$\tg12\alpha$$, якщо $$\sin6\alpha=\frac{\normalsize1}{\normalsize\sqrt{290}}$$ і $$495^{\circ}<6\alpha<540^{\circ}$$. (*2 бали*)
3. $$\ctg\alpha=-\frac{\normalsize7}{\normalsize24}$$ і $$450^{\circ}<\alpha<540^{\circ}$$. Знайдіть значення $$\cos\frac{\normalsize\alpha}{\normalsize2}$$. (*2 бали*)
4. &#x20;Знайдіть значення $$\sin2\alpha$$, якщо $$\tg\alpha=1$$. (*2 бали*)
5. &#x20;Спростити вираз $$\frac{\normalsize1+\sin\alpha-2\sin^2\left(45^{\circ}-\frac{\alpha}{2}\right)}{\normalsize4\cos\frac{\alpha}{2}}$$. (*4 бали*)
6. &#x20;Доведіть нерівність $$\ctg\frac{\normalsize\alpha}{\normalsize2}>1+\ctg\alpha$$, якщо $$0<\alpha<\pi$$. (*4 бали*)
7. &#x20;Обчисліть значення виразу $$2+\tg2\alpha+\ctg2\alpha$$, якщо $$\sin4\alpha=\frac{\normalsize3}{\normalsize4}$$. (*4 бали*)
8. &#x20;$$\alpha,\beta,\gamma$$ – кути трикутника. Доведіть, що в цьому випадку:\
   $$\sin\gamma=(\alpha+\beta)$$, а $$\cos\gamma=-\cos(\alpha+\beta)$$. (*4 бали*)
9. &#x20;Спростіть вираз $$\frac{\normalsize2}{\normalsize\sqrt{2+\sqrt{2+2\cos4\alpha}}}$$, якщо $$0\le\alpha\le\frac{\normalsize\pi}{\normalsize2}$$. (*6 балів*)
10. &#x20;Обчисліть без таблиць $$\ctg7,5^{\circ}+\tg67,5^{\circ}-\tg7,5^{\circ}-\ctg67,5^{\circ}$$. (*6 балів*)
11. Обчислити без таблиць значення виразу:\
    $$\sin^4\frac{\normalsize\pi}{\normalsize16}+\sin^4\frac{\normalsize3\pi}{\normalsize16}+\sin^4\frac{\normalsize5\pi}{\normalsize16}+\sin^4\frac{\normalsize7\pi}{\normalsize16}$$. (*6 балів*)
    {% endtab %}

{% tab title="Підказки" %}
**1.** В умові синус подвійного кута, а  $$1+\ctg^2\alpha=\frac{\normalsize1}{\normalsize\sin^2\alpha}$$.

**2.** Аналогічно до попереднього, тільки врахуйте знак функції на вказаному проміжку. Якщо вилучити повний оберт, то проміжок (495°; 540°) рівнозначний проміжку…

**3.** Косинус половинного кута має свою формулу. Не забудьте про знаки ("+" чи "–"?).

**4.** Синус з тангенсом також пов’язані формулою, чи не так? Хоча, можна й простіше. Значення ж тангенса відоме? А кут $$\alpha$$ тоді обчислити можна?

**5.** Доведеться використати формулу синуса різниці і не забути одну про формулу скороченого множення.

**6.** Оце вже справді цікаве завдання! Як же довести нерівність? Є один варіант: якщо $$a>b$$, тоді $$a-b=\ldots$$

**7.** Спробуйте перетворити сам вираз $$2+\tg2\alpha+\ctg2\alpha$$, може в результаті цього перетворення з’явиться $$\sin4\alpha$$?

**8.** Чому дорівнює сума кутів трикутника? Тоді сума двох з них дорівнює…

**9.** На щось схоже… А, точно, на **№28.2**!

**10.** і **11.** Використайте формулу тангенса половинного кута. Тільки уважно під час обчислення $$\cos\frac{\normalsize5\pi}{\normalsize8}$$ і $$\cos\frac{\normalsize7\pi}{\normalsize8}$$. Який знак потрібно поставити перед знаком кореня? До якої чверті належать кути? Які для цих кутів значення косинуса – додатні чи від’ємні?
{% endtab %}

{% tab title="Відповіді" %}
![](/files/-LI7xWKYfsUwj0d57vBp)
{% endtab %}
{% endtabs %}

![](/files/-LI7xkJankLAGIc_WR90)

| **"6":** | 21 бал | **"9":** | 31 бал | **"12":** | 42 бали |
| -------- | ------ | -------- | ------ | --------- | ------- |


---

# Agent Instructions: Querying This Documentation

If you need additional information that is not directly available in this page, you can query the documentation dynamically by asking a question.

Perform an HTTP GET request on the current page URL with the `ask` query parameter:

```
GET https://oleksandr-s-l.gitbook.io/trygonometry/29.-kontrolni-zavdannya.md?ask=<question>
```

The question should be specific, self-contained, and written in natural language.
The response will contain a direct answer to the question and relevant excerpts and sources from the documentation.

Use this mechanism when the answer is not explicitly present in the current page, you need clarification or additional context, or you want to retrieve related documentation sections.