# 30. Формули зниження степеню

![](/files/-LIA4ctd2RXMoTgZvqWp)

![](/files/-LIA4lVMwwt3r51_PwxP)

![](/files/-LIA4pMrdohLtNuLgzHX)

Наскільки простіше було б розв’язувати [**завдання 5**](https://sch10.gitbook.io/trygonometry/29.-kontrolni-zavdannya) з контрольних завдань, якби в умові не було другого степеня. Звісно, змінювати умову ми не маємо права, а от змінити спосіб розв'язування – запросто.

Звернемось до формул, з яких виводили формули половинного аргументу.\
Так формула $$\cos\frac{\normalsize\alpha}{\normalsize2}=\pm\sqrt{\frac{\normalsize1+\cos\alpha}{\normalsize2}}$$ з'явилася з формули $$\cos^2\frac{\normalsize\alpha}{\normalsize2}=\frac{\normalsize1+\cos\alpha}{\normalsize2}$$,\
а $$\sin\frac{\normalsize\alpha}{\normalsize2}=\pm\sqrt{\frac{\normalsize1-\cos\alpha}{\normalsize2}}$$  – з $$\sin^2\frac{\normalsize\alpha}{\normalsize2}=\frac{\normalsize1-\cos\alpha}{\normalsize2}$$.

Придивимось уважно до формул $$\cos^2\frac{\normalsize\alpha}{\normalsize2}=\frac{\normalsize1+\cos\alpha}{\normalsize2}$$ і $$\sin^2\frac{\normalsize\alpha}{\normalsize2}=\frac{\normalsize1-\cos\alpha}{\normalsize2}$$. Як бачимо, вони пов'язують не тільки аргументи $$\frac{\normalsize\alpha}{\normalsize2}$$ і $$\alpha$$, але і степені тригонометричних функцій – ліва частина формули в другому степені, а права – в першому. Тому можемо переписати ці формули в такому вигляді:\
$$\cos^2\alpha=\frac{\normalsize1+\cos2\alpha}{\normalsize2}$$ та $$\sin^2\alpha=\frac{\normalsize1-\cos2\alpha}{\normalsize2}$$\
і далі користуватися ними для пониження степеню синуса і косинуса.

Маючи ці формули, завдання 5 тепер можна розв'язати так:

$$\begin{array}{l}\frac{\normalsize1+\sin\alpha-2\sin^2\left(45^{\circ}-\frac{\alpha}{2}\right)}{\normalsize4\cos\frac{\alpha}{2}}=\frac{\normalsize1+\sin\alpha-2\cdot\frac{1-\cos2\left(45^{\circ}-\frac{\alpha}{2}\right)}{2}}{\normalsize4\cos\frac{\alpha}{2}}=\\=\frac{\normalsize1+\sin\alpha-\left(1-\cos\left(2\cdot45^{\circ}-2\cdot\frac{\alpha}{2}\right)\right)}{\normalsize4\cos\frac{\alpha}{2}}=\\=\frac{\normalsize1+\sin\alpha-\left(1-\cos(90^{\circ}-\alpha)\right)}{\normalsize4\cos\frac{\alpha}{2}}=\frac{\normalsize1+\sin\alpha-1+\cos(90^{\circ}-\alpha)}{\normalsize4\cos\frac{\alpha}{2}}=\\=\frac{\normalsize\sin\alpha+\sin\alpha}{\normalsize4\cos\frac{\alpha}{2}}=\frac{\normalsize2\sin\alpha}{\normalsize4\cos\frac{\alpha}{2}}=\frac{\normalsize2\cdot2\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2}}{\normalsize4\cos\frac{\alpha}{2}}=\sin\frac{\normalsize\alpha}{\normalsize2}\end{array}$$ 

Розділивши $$\sin^2\alpha$$ на $$\cos^2\alpha$$, отримаємо формулу зниження степеню для тангенса. Розділивши $$\cos^2\alpha$$ на $$\sin^2\alpha$$, отримаємо формулу зниження степеню для котангенса.

![](/files/-LIA67DepyyQPRcBBjx2)

![](/files/-LIA6ARv2nhS0qHEawP-)

![](/files/-LIA818nR9n9DfLJWqTA)

{% tabs %}
{% tab title="Завдання" %}
**Довести тотожності, використовуючи формули зниження степеню:**

**30.1.** $$2\sin^2(3\pi-2\alpha)\cos^2(5\pi+2\alpha)=\frac{1}{4}-\frac{1}{4}\sin\left(\frac{\normalsize5\pi}{\normalsize2}-8\alpha\right)$$ (*2 бали*)

**30.2.** $$\sin^6\frac{\normalsize\alpha}{\normalsize2}-\cos^6\frac{\normalsize\alpha}{\normalsize2}=\frac{\normalsize\sin^2\alpha-4}{\normalsize4}\cdot\cos\alpha$$ (*2 бали*)

**30.3.** $$\ctg^2\alpha-\ctg^2\beta=\frac{\normalsize\cos^2\alpha-\cos^2\beta}{\normalsize\sin^2\alpha\sin^2\beta}$$ (*2 бали*)

**30.4.** $$\cos^2(45^{\circ}-\alpha)-\cos^2(60^{\circ}+\alpha)-\cos75^{\circ}\sin(75^{\circ}-2\alpha)=\sin2\alpha$$ (*2 бали*)

**30.5.** $$\sin^2(45^{\circ}+\alpha)-\sin^2(30^{\circ}-\alpha)-\sin15^{\circ}\cos(15^{\circ}+2\alpha)=\sin2\alpha$$ (*2 бали*)
{% endtab %}

{% tab title="Підказки" %}
**30.1.** Щоб довести цю тотожність доведеться перетворювати і праву, і ліву частини рівності. В результаті цих перетворень повинні вийти однакові вирази.

**30.2.** Тотожність доводиться традиційним способом, зліва направо – потрібно тільки додуматися на які множники розкласти $$\sin^6\frac{\normalsize\alpha}{\normalsize2}-\cos^6\frac{\normalsize\alpha}{\normalsize2}$$.

**30.3.** Розкладання лівої частини рівності на множники за формулою різниці квадратів навряд чи щось дасть, адже в лівій і правій частинах як були різнойменні функції так і залишаться. Чи не краще подумати, як з котангенсів утворити синуси в знаменниках?

**30.4.** і **30.5.** Комбінуйте формули зниження степеню, формули суми та різниці аргументів і формули зведення. Щось та вийде…
{% endtab %}
{% endtabs %}

![](/files/-LIABWSL_-jXPFHUZk-6)

| **"6":** | 5 балів | **"9":** | 7 балів | **"12":** | 10 балів |
| -------- | ------- | -------- | ------- | --------- | -------- |


---

# Agent Instructions: Querying This Documentation

If you need additional information that is not directly available in this page, you can query the documentation dynamically by asking a question.

Perform an HTTP GET request on the current page URL with the `ask` query parameter:

```
GET https://oleksandr-s-l.gitbook.io/trygonometry/30.-formuli-znizhennya-stepenyu.md?ask=<question>
```

The question should be specific, self-contained, and written in natural language.
The response will contain a direct answer to the question and relevant excerpts and sources from the documentation.

Use this mechanism when the answer is not explicitly present in the current page, you need clarification or additional context, or you want to retrieve related documentation sections.