# 31. Формули перетворення синуса і косинуса через тангенс половинного кута
> "Будь-яка формула, вміщена в книзі, зменшує кількість її покупців у два рази" (*Стівен Хокінг*)
Ще один приклад отримання нової формули з вже відомої. І допоможе нам у цьому та ж сама формула подвоєного аргументу, з якої було виведено формулу половинного аргументу. Ось як це буде:
Отже, 
Аналогічним же чином з формули косинуса подвоєного кута можна виразити через  косинус кута: , а, розділивши тепер синус на косинус (косинус на синус), – також і тангенс (котангенс) кута α:  та .
Перечитайте виведення формул [**за підручником**](https://drive.google.com/file/d/1KBUWaCgCgfC4sy3K3iB_8ev-8xWn8tzZ/view) (с.86 п.7), повторіть наведені перетворення виразів самостійно.
**Навіть після перечитування матеріалу підручника так і не зрозуміло, що означає запис "****, де k∈Z".**
Справа в тому, що ми ділимо на , тому повинні бути впевненими в тому, що не виконуємо ділення на нуль. А при яких значеннях 
дорівнює нулю? З таблиці значень тригонометричних функцій видно, що це буде тоді, коли
("*квадрат*" можна не брати до уваги, адже 0 в квадраті усе одно нуль!), тобто лише у разі якщо . Чи це єдине значення? Якщо поглянути на тригонометричне коло, то стане зрозуміло, що таких значень кута, при яких косинус дорівнює нулю два: 90° і 270°. Це все? Якщо говорити про геометричні кути, то так, а от якщо вести мову про кути повороту, то такими будуть ще й кути:\
**450°** (270°+180°=90°+180°·2),\
**630°** (450°+180°=90°+180·3),\
**810°** (630°+180°=90°+180°·4),\
**990°** (810°+180°=90°+180°·5) і т.д.
Як бачимо, такі кути повторюються через кожні 180°, починаючи з 90°. Ось тому значення кута, при якомуможна виразити так, як і записано в підручнику: , де $$k$$ – кількість поворотів на 180° ($$\pi$$), зрозуміло, що кількість обертів виражається цілим число, тому записують $$k\in Z$$.
Запам'ятайте формули, вони часто використовуються і при перетвореннях тригонометричних виразів, і під час розв'язування тригонометричних рівнянь і нерівностей, а також як універсальна підстановка при інтегруванні тригонометричних виразів
{% tabs %}
{% tab title="Завдання" %}
**31.1.** А чи не можна формулу  отримати в простіший спосіб? Придивіться до всіх формул, які Ви вже знаєте. (*2 бали*)
**Доведіть тотожності:**
**31.2³.**  (*4 бали*)
**31.3³.**  (*4 бали*)
{% endtab %}
{% tab title="Підказки" %}
**31.1.** Невже так і не знайшли цю формулу? А чи немає потрібної в [**Уроці 27**](https://sch10.gitbook.io/trygonometry/27.-trigonometrichni-funkciyi-podviinogo-argumentu)?
{% endtab %}
{% endtabs %}
| **"6":** | 4 бали | **"9":** | 8 балів | **"12":** | 10 балів |
| -------- | ------ | -------- | ------- | --------- | -------- |
---
# Agent Instructions: Querying This Documentation
If you need additional information that is not directly available in this page, you can query the documentation dynamically by asking a question.
Perform an HTTP GET request on the current page URL with the `ask` query parameter:
```
GET https://oleksandr-s-l.gitbook.io/trygonometry/31.-formuli-peretvorennya-sinusa-i-kosinusa-cherez-tangens-polovinnogo-kuta.md?ask=
```
The question should be specific, self-contained, and written in natural language.
The response will contain a direct answer to the question and relevant excerpts and sources from the documentation.
Use this mechanism when the answer is not explicitly present in the current page, you need clarification or additional context, or you want to retrieve related documentation sections.