# 32. Перевірте себе

І знову завдання для перевірки засвоєння тригонометричних формул. На цей раз Вам необхідно знайти помилки в наведених формулах.

Ні, ні, ні!… Шукати Урок 33 ще рано. Все ж таки не полінуйтеся і перевірте свої знання. Чим краще Ви знатимете формули, тим вільніше будете орієнтуватися у виразах під час їх перетворень. Та і математика "говорить" з нами саме мовою формул. Окрім того, заучування формул чи будь-якого іншого абстрактного матеріалу – прекрасна форма тренування пам'яті. Так що, завдання перед Вами!Отже, знаходимо помилки у наведених формулах. Виконайте це завдання по пам'яті, не користуючись шпаргалками. Дивіться у відповіді тільки після того, як буде виконане все завдання повністю.

![](/files/-LIAKGa6JzOG6pqLEV2q)

{% tabs %}
{% tab title="Завдання" %}
**1)** $$\sin^2\alpha+\cos\alpha=1$$; 

**2)** $$\cos\alpha=\frac{\normalsize2\tg\frac{\alpha}{2}}{\normalsize1+\tg^2\frac{\alpha}{2}}$$;

**3)**  $$1+\tg^2\alpha=\frac{\normalsize1}{\normalsize\sin^2\alpha}$$; 

**4)**   $$\cos2\alpha=\sin^2\alpha-\cos^2\alpha$$;

**5)** $$\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta=\cos(\alpha-\beta)$$;

**6)** $$\sin^2\alpha=\frac{\normalsize1+\cos2\alpha}{\normalsize2}$$;

**7)** $$\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta$$;

**8)** $$\sin(\pi-\alpha)=-\cos\alpha$$;

**9)** $$\cos(-\alpha)=-\cos\alpha$$;

**10)** $$\ctg(\alpha+\beta)=\frac{\normalsize1-\ctg\alpha\ctg\beta}{\normalsize\ctg\alpha+\ctg\beta}$$;

**11)** $$\cos\frac{\normalsize\alpha}{\normalsize2}=\sqrt{\frac{\normalsize1-\cos\alpha}{\normalsize2}}$$;

**12)** $$\tg^2\alpha=\frac{\normalsize1-\cos2\alpha}{\normalsize1+\cos2\alpha}$$.
{% endtab %}

{% tab title="Відповіді" %}
**1)** Пропущено "квадрат" $$\cos^{\boldsymbol{2}}\alpha$$.

**2)** Замість формули для косинуса записана формула для синуса.

**3)** В знаменнику дробу повинен бути не синус, а косинус. У цих формулах в знаменнику така ж функція, яка і у знаменнику дробу, на який розкладається тангенс чи котангенс. Порівняйте!

**4)** Навпаки, $$\cos^2\alpha-\sin^2\alpha$$!

**5)** Формула **косинуса** суми чи різниці починається з **косинуса** (точніше їх добутку), а формула **синуса** суми чи різниці – з **синуса** (добутку синуса на косинус). Для синуса знак між множниками такий же, як і в дужках, а для косинуса – протилежний. Отже, наведена формула є формулою синуса різниці $$\sin(\alpha-\beta)$$.

**6)** У формулі зниження степеню для синуса перед косинусом стоїть знак "мінус", а для косинуса – "плюс" $$\sin^2\frac{\normalsize\alpha}{\normalsize2}=\frac{\normalsize1-\cos\alpha}{\normalsize2}$$, $$\cos^2\alpha=\frac{\normalsize1+\cos2\alpha}{\normalsize2}$$.

**7)** Див.**5)**.

**8)** Повторіть "правило слоника" з [**Уроку 25**](https://sch10.gitbook.io/trygonometry/25.-formuli-zvedennya). Кут $$\pi-\alpha$$ належить ІІ або І координатній чверті. Синус там – додатний. Функція на кофункцію не змінюється.

**9)** Функція косинус – єдина парна тригонометрична функція (з розглядуваних, звичайно, тому що функція секанс теж парна, чому це так – можете встановити самостійно), а значить $$\cos(-\alpha)=\cos\alpha$$.

**10)** В знаменнику можна і так – від перестановки доданків… А от в чисельнику повинно бути тільки $$\ctg\alpha\ctg\beta-1$$.

**11)** По-перше, перед знаком кореня не поставлено ±, по-друге, перед косинусом в чисельнику дробу повинно бути "+", а не "–".

**12)** І не мучтесь, і помилок не шукайте – їх там немає. Ця формула є прямим наслідком з формули половинного аргументу для тангенса:\
$$\tg\frac{\normalsize\alpha}{\normalsize2}=\pm\sqrt{\frac{\normalsize1-\cos\alpha}{\normalsize1+\cos\alpha}}$$.
{% endtab %}
{% endtabs %}

**Ну що, все правильно? Якщо ні, тоді вчіть формули ще! Ну а якщо все вірно, тоді можна рухатися далі.**


---

# Agent Instructions: Querying This Documentation

If you need additional information that is not directly available in this page, you can query the documentation dynamically by asking a question.

Perform an HTTP GET request on the current page URL with the `ask` query parameter:

```
GET https://oleksandr-s-l.gitbook.io/trygonometry/32.-perevirte-sebe.md?ask=<question>
```

The question should be specific, self-contained, and written in natural language.
The response will contain a direct answer to the question and relevant excerpts and sources from the documentation.

Use this mechanism when the answer is not explicitly present in the current page, you need clarification or additional context, or you want to retrieve related documentation sections.