# 33. Формули суми й різниці однойменних функцій

![](/files/-LIAn8jTC1lFMyAvzefE)

|                         |                         |
| ----------------------- | ----------------------- |
| $$\cos(\alpha-\beta)=$$ | $$\sin(\alpha+\beta)=$$ |
| $$\cos(\alpha+\beta)=$$ | $$\sin(\alpha-\beta)=$$ |
| $$\tg(\alpha+\beta)=$$  | $$\ctg(\alpha+\beta)=$$ |
| $$\tg(\alpha-\beta)=$$  | $$\ctg(\alpha-\beta)=$$ |

![](/files/-LIAnJb-3NCBfvj5-4pE)

Як бачимо, є формули для суми і різниці аргументів тригонометричних функцій. А чи не можна вивести формули для суми і різниці не аргументів, а самих тригонометричних функцій, тобто, наприклад, таке: $$\sin\alpha+\sin\beta$$ і т.п.?

![](/files/-LIAnXt3Gb-WSEgmZu34)

Прочитайте виведення цих формул [**за підручником**](https://drive.google.com/file/d/0BzsjxUcphaAoRVl5R3hXR1dSUDQ/view) (с.229 п.28)

![](/files/-LIAnmRIIjsLodluKqI7)

**А чому для виведення формули прийнято** $$\boldsymbol{x+y=\alpha}$$**,** $$\boldsymbol{x-y=\beta}$$**? Невже можна виразити два кути через суму і різницю двох інших?**

Звісно, що можна. Потрібно тільки правильно їх підібрати. Подальший же результат, наведений у підручнику – це розв'язання системи рівнянь $$\begin{cases}x+y=\alpha \ x-y=\beta \end{cases}$$. Користуючись цим способом легко розкласти на такі складові будь-яку пару кутів. Наприклад, якщо *α*=70°, а *β*=30°, то *α*=50°+20°, а *β*=50°–20°, таким чином, для *α*=70°, *β*=30°, маємо: x=50°, y=20°.

![](/files/-LIAqhKKkE7aVTTyE-c4)

![](/files/-LIAqkh-LzAMb784nRaG)

![](/files/-LIAqpJA62NEM5b3885s)

Зверніть увагу на формулу різниці косинусів:

![](/files/-LIArGM9rJZj9ZUiHh8T)

Як бачимо, її можна виразити двома способами.

**Встановіть:**

1. Чим відрізняються ці формули?
2. Куди подівся "мінус" перед "двійкою" у другій формулі?
3. Чому стала необхідною і можливою така зміна?
4. Чому величини кутів α і β (адже з проведеної заміни змінних видно, що α>β) не впливають на знаки в інших формулах?

Застосовувати ці формули досить-таки просто – бери, підставляй і отримуй результати. От тільки якщо робити це, не думаючи, навмання, то потрібного результату досягнемо не скоро!

![](/files/-LIAs1_6HMW-sU9SXn-j)

**Спростити вираз:** $$\boldsymbol{\sin2x+\sin4x-\sin6x}$$

Додаємо до першого доданка другий, а потім до суми – третій.

$$\begin{array}{l}\sin2x+\sin4x-\sin6x=2\sin\frac{\normalsize2x+4x}{\normalsize2}\cos\frac{\normalsize2x-4x}{\normalsize2}-\sin6x=\\=2\sin3x\cos x-\sin6x=2\sin3x\cos x-2\sin3x\cos3x=\\=2\sin3x(\cos x-\cos3x)=2\sin3x\cdot2\sin\frac{\normalsize x+3x}{\normalsize2}\sin\frac{\normalsize3x-x}{\normalsize2}=\\=4\sin3x\sin2x\sin x\end{array}$$ 

![](/files/-LIAsWJjszwT7_XCfDGc)

Як бачимо, не дуже-то і спростилось! Замість трьох доданків стало чотири множника. Було три синуса – три синуса і лишилось. Було три різних аргументи – три інших, але також різних аргументи і залишилось.

А що як додати до першого доданка – третій?

$$\begin{array}{l}\sin2x+\sin4x-\sin6x=\sin2x-\sin6x+\sin4x=\\=2\sin\frac{\normalsize2x-6x}{\normalsize2}\cos\frac{\normalsize2x+4x}{\normalsize2}+\sin4x=2\sin(-2x)\cos4x+\sin4x=\\=-2\sin2x\cos4x+\sin4x=-2\sin2x\cos4x+2\sin2x\cos2x=\\=2\sin2x(-\cos4x+\cos2x)=2\sin2x(\cos2x-\cos4x)=\\=2\sin2x\cdot2\sin\frac{\normalsize2x-4x}{\normalsize2}\sin\frac{\normalsize4x-2x}{\normalsize2}=4\sin2x\sin(-x)\sin x=\\=-4\sin2x\sin^2x=-8\sin^3x\cos x\end{array}$$ 

Оце вже щось! До речі, зверніть увагу на аргументи функцій – вони стали *однаковими*! Запам'ятайте цей прийом – вміння приводити аргументи до однакового вигляду нам знадобиться пізніше, при розв'язуванні тригонометричних рівнянь і нерівностей.

![](/files/-LIAtGmtSGHyWXIu9uem)

**Спростити вираз:** $$\boldsymbol{\frac{\normalsize\sin4\alpha+\sin5\alpha+\sin6\alpha}{\normalsize\cos4\alpha+\cos5\alpha+\cos6\alpha}}$$

Як виконати додавання? А так, як у попередньому прикладі: до першого доданка – третій.

$$\begin{array}{l}\frac{\normalsize\sin4\alpha+\sin5\alpha+\sin6\alpha}{\normalsize\cos4\alpha+\cos5\alpha+\cos6\alpha}=\frac{\normalsize2\sin\frac{4\alpha+6\alpha}{2}\cos\frac{4\alpha-6\alpha}{2}+\sin5\alpha}{\normalsize2\cos\frac{4\alpha+6\alpha}{2}\cos\frac{4\alpha-6\alpha}{2}+\cos5\alpha}=\ \\=\frac{\normalsize2\sin5\alpha\cos\alpha+\sin5\alpha}{\normalsize2\cos5\alpha\cos\alpha+\cos5\alpha}=\frac{\normalsize\sin5\alpha(2\cos\alpha+1)}{\normalsize\cos5\alpha(2\cos\alpha+1)}=\tg5\alpha\end{array}$$ 

![](/files/-LIAtWjhuRXbiKudckZW)

**Так що, при додаванні тригонометричних виразів завжди треба додавати їх через один, до першого – третій, до другого – четвертий?**

Справа не в чергуванні функцій, а в їх аргументах. Розглянемо, наприклад чисельник дробу $$\sin4\alpha+\sin5\alpha+\sin6\alpha$$. Якщо до $$4\alpha$$ додати $$6\alpha$$ і результат розділити на 2, то якраз вийде $$5\alpha$$. Таким чином, внаслідок додавання першого доданка до третього матимемо добуток двох функцій, аргумент однієї з яких ($$5\alpha$$) дорівнює аргументу другого доданка ($$\sin5\alpha$$). Це дозволяє утворити доданки $$2\sin5\alpha\cos\alpha$$ і $$\sin5\alpha$$ зі спільним множником $$\sin5\alpha$$, який можна винести за дужки.

Якщо не виходить утворити однакові півсуми – перевірте, можливо вдасться утворити однакові піврізниці. У будь-якому випадку, кожен такий вибір доводиться робити спочатку добре усе осмисливши і проаналізувавши умову завдання.

![](/files/-LIAuODjjSYnQbhMphLe)

**Спростити вираз** $$\boldsymbol{\frac{\normalsize\cos7x-\cos8x-\cos9x+\cos10x}{\normalsize\sin7x-\sin8x-\sin9x+\sin10x}}$$

Підбираємо порядок додавання. Якщо до першого доданка додати другий, а до третього – четвертий, то в результаті матимемо аргументи $$7,5x$$ і $$9,5x$$. Другий спосіб: до першого третій, до другого – четвертий. Результати: $$8x$$ і $$9x$$. Знову не те… Залишився ще один варіант: перший доданок і четвертий, другий і третій. Півсуми: $$\frac{\normalsize17x}{\normalsize2}$$ і $$\frac{\normalsize17x}{\normalsize2}$$. Оце вже те, що треба!

$$\begin{array}{l}\frac{\normalsize\cos7x-\cos8x-\cos9x+\cos10x}{\normalsize\sin7x-\sin8x-\sin9x+\sin10x}=\frac{\normalsize\cos7x+\cos10x-(\cos8x+\cos9x)}{\normalsize\sin7x+\sin10x-(\sin8x+\sin9x)}=\ \\=\frac{\normalsize2\cos\frac{7x+10x}{2}\cos\frac{7x-10x}{2}-2\cos\frac{8x+9x}{2}\cos\frac{8x-9x}{2}}{\normalsize2\sin\frac{7x+10x}{2}\cos\frac{7x-10x}{2}-2\sin\frac{8x+9x}{2}\cos\frac{8x-9x}{2}}=\ \\=\frac{\normalsize\cos\frac{17x}{2}\cos\frac{3x}{2}-\cos\frac{17x}{2}\cos\frac{x}{2}}{\normalsize\sin\frac{17x}{2}\cos\frac{3x}{2}-\sin\frac{17x}{2}\cos\frac{x}{2}}=\frac{\normalsize\cos\frac{17x}{2}\left(\cos\frac{3x}{2}-cos\frac{x}{2}\right)}{\normalsize\sin\frac{17x}{2}\left(\cos\frac{3x}{2}-\cos\frac{x}{2}\right)}=\ctg\frac{\normalsize17x}{\normalsize2}\end{array}$$ 

Ну а тепер самостійно:

![](/files/-LIAvThnWFiz64cnGTtv)

{% tabs %}
{% tab title="Завдання" %}
**Перетворити вираз на добуток:**

**33.1.**  $$\cos5x+\cos8x+\cos9x+\cos12x$$; (*2 бали*)

**33.2.**  $$\sin2\alpha+\sin4\alpha+\sin6\alpha$$;  (*2 бали*)

**33.3.**  $$\sin5\alpha+\sin6\alpha+\sin7\alpha+\sin8\alpha$$;  (*2 бали*)

**33.4.** $$\frac{\normalsize\sin\alpha-2\cos3\alpha-\sin5\alpha}{\normalsize\cos\alpha-2\sin3\alpha-\cos5\alpha}$$;  (*2 бали*)

**33.5.**  $$\sin87^{\circ}-\sin59^{\circ}-\sin93^{\circ}+\sin61^{\circ}$$;  (*2 бали*)

**33.6.**  $$\tg30^{\circ}+\tg40^{\circ}+\tg50^{\circ}+\tg60^{\circ}$$;  (*2 бали*)

**Спростити вирази:**

**33.7.**  $$\frac{\normalsize\sin13\alpha+\sin14\alpha+\sin15\alpha+\sin16\alpha}{\normalsize\cos13\alpha+\cos14\alpha+\cos15\alpha+\cos16\alpha}$$; (*2 бали*)

**33.8.**  $$\frac{\normalsize\sin(2\alpha+\beta)+\sin(2\alpha-\beta)-\cos\left(\frac{3\pi}{2}-2\alpha\right)}{\normalsize\cos(2\alpha+\beta)+\cos(2\alpha-\beta)-\sin\left(\frac{3\pi}{2}+2\alpha\right)}$$ ;  (*2 бали*)

**33.9.**  $$\angle A$$ і $$\angle B$$ – гострі кути прямокутного трикутника.\
Доведіть, що $$\sin2\angle A+\sin2\angle B=4\sin\angle A\sin\angle B$$.  (*4 бали*)

**Довести тотожності:**

**33.10.** $$\frac{\normalsize\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)}{\normalsize\sin(\alpha+\beta)-\sin(\alpha-\beta)}=\tg\alpha\ctg\beta$$;  (*2 бали*)

**33.11.** $$\frac{\normalsize\tg\alpha+\tg\beta}{\normalsize\tg\alpha-\tg\beta}-\frac{\normalsize\sin(\alpha+\beta)}{\normalsize\sin(\alpha-\beta)}=0$$;  (*2 бали*)

**33.12.** $$4\cos\frac{\normalsize\alpha}{\normalsize2}\cos\alpha\sin\frac{\normalsize5\alpha}{\normalsize2}=\cos\alpha+\cos2\alpha+\cos3\alpha+\cos4\alpha$$;  (*2 бали*)

**33.13.** $$\cos\alpha+\sin\alpha+\cos3\alpha+\sin3\alpha=2\sqrt2\cos\alpha\sin\left(\frac{\normalsize\pi}{\normalsize4}+2\alpha\right)$$;  (*4 бали*)

**33.14.** Виведіть формули для суми і різниці косинуса та синуса $$\cos\alpha+\sin\alpha$$ та $$\cos\alpha-\sin\alpha$$.  (*4 бали*)
{% endtab %}

{% tab title="Підказки" %}
**33.2.** Після того, як Ви виконали додавання $$\sin2\alpha$$ та $$\sin6\alpha$$, винесли за дужки $$\sin4\alpha$$ і отримали у дужках вираз $$2\cos2\alpha+1$$, винесіть ще з цього виразу за дужки "двійку". Тоді у Вас вийде $$4\sin4\alpha\left(\cos2\alpha+\frac{\normalsize1}{\normalsize2}\right)$$. А тепер замініть $$\frac{\normalsize1}{\normalsize2}$$ на $$\cos\frac{\normalsize\pi}{\normalsize3}$$ і додайте косинуси у дужках.

**33.4.** Виконуйте віднімання першого і третього синусів у чисельнику та першого і третього косинусів у знаменнику, а коли у дужках в чисельнику отримаєте $$\sin2\alpha+1$$ і у знаменнику $$\sin2\alpha-1$$, пригадайте, що $$1=\sin\frac{\normalsize\pi}{\normalsize2}$$ і використайте той же прийом, що і з **33.2**

**33.9.** Виконайте додавання синусів і подивіться на значення отриманих функцій відповідно до умови задачі.

**33.11.** Можете віднімати дроби, а можна просто показати, що зменшуване дорівнює від'ємнику – тоді і різниця дорівнюватиме нулю!

**33.12.** Нарешті знайшовся приклад на доведення тотожностей, в якому починати доведення слід справа наліво!

**33.13.** УВАГА! Формули для $$\cos\alpha+\sin\alpha$$ НЕМАЄ! Вірніше, є, але Ви її поки що не знаєте. І не знатимете доти, доки не виконаєте **33.14.** Тому уважно роздивіться приклад і правильно згрупуйте доданки.

**33.14.** Ось тепер подумаємо, як же додати синус і косинус! Така сума може бути виведена за допомогою формули суми (різниці) аргументів. Представимо даний вираз у вигляді $$\cos\alpha+\sin\alpha=\cos\alpha\cdot1+\sin\alpha\cdot1$$. У формулах суми і різниці аргументів повинні бути добутки косинуса на синус або косинуса на косинус та синус на синус. Тобто, одиницю потрібно представити у вигляді косинуса чи синуса якогось аргументу. Одна проблема: який аргумент підібрати, щоб і синус, і косинус цього аргументу були однаковими? Такий аргумент тільки один: $$\frac{\pi}{4}$$.\
Для нього $$\cos\frac{\normalsize\pi}{\normalsize4}=\sin\frac{\normalsize\pi}{\normalsize4}=\frac{\normalsize\sqrt2}{\normalsize2}=\frac{\normalsize1}{\normalsize\sqrt2}$$. Однак, якщо замість одиниць підставити $$\cos\frac{\normalsize\pi}{\normalsize4}$$ і $$\sin\frac{\normalsize\pi}{\normalsize4}$$, то отримаємо "зайвий"$$\sqrt2$$ в знаменнику. Значить, щоб вираз не змінився, після того як ми його фактично розділили на $$\sqrt2$$, тепер потрібно на $$\sqrt2$$ помножити. Що робити далі зрозуміло?
{% endtab %}

{% tab title="Відповіді" %}
**33.1.** $$4\cos\frac{\normalsize17x}{\normalsize2}\cos2x\cos\frac{\normalsize3x}{\normalsize2}$$**;**

**33.2.** $$4\sin4\alpha\cos\left(\frac{\normalsize\pi}{\normalsize6}+\alpha\right)\cos\left(\frac{\normalsize\pi}{\normalsize6}-\alpha\right)$$**;**

**33.3.** $$4\sin\frac{\normalsize13\alpha}{\normalsize2}\cos\alpha\cos\frac{\normalsize\alpha}{\normalsize2}$$**;**

**33.4.** $$\ctg3\alpha\tg\left(\frac{\normalsize\pi}{\normalsize4}+\alpha\right)\ctg\left(\frac{\normalsize\pi}{\normalsize4}-\alpha\right)$$**;**

**33.5.** $$\sin1^{\circ}$$**;**

**33.6.** $$\frac{\normalsize8\cos20^{\circ}}{\normalsize\sqrt3}$$**;**

**33.7.** $$\tg\frac{\normalsize29\alpha}{\normalsize2}$$**;**

**33.8.** $$\tg2\alpha$$**;**

**33.14.** $$\cos\alpha+\sin\alpha=\sqrt2\cos\left(\frac{\normalsize\pi}{\normalsize4}-\alpha\right)=\sqrt2\sin\left(\frac{\normalsize\pi}{\normalsize4}+\alpha\right)$$ ,\
 $$\cos\alpha-\sin\alpha=\sqrt2\sin\left(\frac{\normalsize\pi}{\normalsize4}-\alpha\right)$$ 
{% endtab %}
{% endtabs %}

![](/files/-LIBBHn3Jgt0toCh-jRb)

| **"6":** | 18 балів | **"9":** | 28 балів | **"12":** | 38 балів |
| -------- | -------- | -------- | -------- | --------- | -------- |


---

# Agent Instructions: Querying This Documentation

If you need additional information that is not directly available in this page, you can query the documentation dynamically by asking a question.

Perform an HTTP GET request on the current page URL with the `ask` query parameter:

```
GET https://oleksandr-s-l.gitbook.io/trygonometry/33.-formuli-sumi-i-riznici-odnoimennikh-funkcii.md?ask=<question>
```

The question should be specific, self-contained, and written in natural language.
The response will contain a direct answer to the question and relevant excerpts and sources from the documentation.

Use this mechanism when the answer is not explicitly present in the current page, you need clarification or additional context, or you want to retrieve related documentation sections.