# 34. Формули добутку тригонометричних функцій

![](/files/-LIBVCYKNvg5voFbNSmM)

**Стоп-стоп! Які нам ще потрібні формули добутку? У нас уже такі формули є! Де? Так ось же вони:**\
$$\boldsymbol{\sin\alpha+\sin\beta=2\sin\frac{\normalsize \alpha+\beta}{\normalsize2}\cos\frac{\normalsize\alpha-\beta}{\normalsize2}}$$ \
$$\boldsymbol{\sin\alpha-\sin\beta=2\sin\frac{ \normalsize\alpha-\beta}{\normalsize2}\cos\frac{\normalsize\alpha+\beta}{\normalsize2}}$$\
$$\boldsymbol{\cos\alpha+\cos\beta=2\cos\frac{\normalsize \alpha+\beta}{\normalsize2}\cos\frac{\normalsize\alpha-\beta}{\normalsize2}}$$\
$$\boldsymbol{\cos\alpha-\cos\beta=-2\sin\frac{ \normalsize\alpha+\beta}{\normalsize2}\sin\frac{\normalsize\alpha-\beta}{\normalsize2}=2\sin\frac{\normalsize\alpha+\beta}{\normalsize2}\sin\frac{\normalsize\beta-\alpha}{\normalsize2}}$$\
**Треба тільки прочитати їх справа наліво:**\
$$\boldsymbol{2\sin\frac{\normalsize \alpha+\beta}{\normalsize2}\cos\frac{\normalsize\alpha-\beta}{\normalsize2}=\sin\alpha+\sin\beta}$$,\
$$\boldsymbol{2\sin\frac{ \normalsize\alpha-\beta}{\normalsize2}\cos\frac{\normalsize\alpha+\beta}{\normalsize2}=\sin\alpha-\sin\beta}$$ **ну і так далі...**

Дійсно, якщо є формули перетворення суми і різниці в добуток, то, прочитавши ці формули у зворотному напрямку отримаємо формули перетворення добутку в суму (чи різницю). От тільки користуватися такими формулами навряд чи буде дуже зручно, адже в них, власне, не добутки функцій, а добутки півсум та піврізниць функцій.

Хоча, попрацювавши з ними, можна привести їх до більш-менш прийнятного вигляду.

![](/files/-LIBXj4_Vknj3XGxI-j9)

Беремо першу з цих формул $$2\sin\frac{ \normalsize\alpha+\beta}{\normalsize2}\cos\frac{\normalsize\alpha-\beta}{\normalsize2}=\sin\alpha+\sin\beta$$ і починаємо перетворювати.

По-перше, нам потрібен не подвоєний добуток функцій, а просто добуток, тож ділимо обидві частини рівності на 2: $$\sin\frac{ \normalsize\alpha+\beta}{\normalsize2}\cos\frac{\normalsize\alpha-\beta}{\normalsize2}=\frac{1}{2}(\sin\alpha+\sin\beta)$$

Тепер пригадаємо, що таке $$\frac{\normalsize\alpha+\beta}{\normalsize2}$$, а що таке $$\frac{\normalsize\alpha-\beta}{\normalsize2}$$. Виводячи формули суми і різниці тригонометричних функцій ми ці вирази [**позначали так**](https://sch10.gitbook.io/trygonometry/33.-formuli-sumi-i-riznici-odnoimennikh-funkcii): $$\frac{\normalsize\alpha+\beta}{\normalsize2}=x$$, $$\frac{\normalsize\alpha-\beta}{\normalsize2}=y$$. Заодно пригадаємо, що з використовуваної тоді системи, слідувало:\
$$\alpha=x+y$$, $$\beta=x-y$$ .

Тепер все, що потрібно, замінимо: $$\sin x\cos y= \frac{\normalsize1}{\normalsize2}(\sin(x+y)+\sin(x-y))$$.

Все, можна користуватися!

![](/files/-LIBZlghG8MMeRwYMKdd)

**Обчислити, не користуючись таблицями,** $$\boldsymbol{\sin52^{\circ}30\cos7^{\circ}30'}$$**.**

За формулою добутку синуса на косинус маємо:

$$\begin{array}{l}\sin52^{\circ}30'\cos7^{\circ}30'=\frac{\normalsize1}{\normalsize2}\left(\sin(52^{\circ}30'-7^{\circ}30'\right)+\sin(52^{\circ}30'+7^{\circ}30'))=\\=\frac{\normalsize1}{\normalsize2}(\sin45^{\circ}+\sin60^{\circ})=\frac{\normalsize1}{\normalsize2}\left(\frac{\normalsize\sqrt2}{\normalsize2}+\frac{\normalsize\sqrt3}{\normalsize2}\right)=\frac{\normalsize\sqrt2+\sqrt3}{\normalsize4}\end{array}$$ 

![](/files/-LIB_O1ONS5bP9q-0U-p)

Формули добутку синусів та добутку косинусів можна вивести аналогічно (з яких формул – встановіть самі), а можна ще одним способом, який пропонується [**в цьому підручнику**](https://drive.google.com/file/d/1KBUWaCgCgfC4sy3K3iB_8ev-8xWn8tzZ/view) (с.86, п.6). Прочитайте матеріал і вивчіть виведення формул.

![](/files/-LIB_pjkbWdOF-m0kV63)

**Нічого не зрозуміло! Там написано: "*****Вивести формули... можна, застосувавши тотожності...*****" А як їх застосувати?**

Не зрозуміло? Значить, розбираємось поступово!

Що собою являють формули (1) і (2), (3) і (4)? Знаходимо їх у тому ж підручнику на сторінці 79. Ось вони:

$$\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta$$ (1)\
$$\cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta$$ (2)\
$$\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta$$  (3)\
$$\sin(\alpha-\beta)=\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta$$  (4)

Розглянемо першу пару:\
$$\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta$$ (1)\
$$\cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta$$ (2)

Говорять, з них можна отримати формулу добутку косинусів та добутку синусів: $$\cos\alpha\cos\beta=\frac{\normalsize\cos(\alpha-\beta)+\cos(\alpha+\beta)}{\normalsize2}$$ та\
$$\sin\alpha\sin\beta=\frac{\normalsize\cos(\alpha-\beta)-\cos(\alpha+\beta)}{\normalsize2}$$.

Як же це зробити? Стоп! Так у формулах (1) і (2) є однакові компоненти! А що як спробувати з першої формули виразити, наприклад, $$\cos\alpha\cos\beta$$ і підставити те, що вийде, в другу формулу.

З формули (1) маємо: $$\cos\alpha\cos\beta=\cos(\alpha+\beta)+\sin\alpha \sin\beta$$.

Ну а тепер підставляємо у формулу (2):\
$$\cos(\alpha-\beta)=\cos(\alpha+\beta)+\sin\alpha\sin\beta+\sin\alpha\sin\beta$$\
$$\cos(\alpha-\beta)=\cos(\alpha+\beta)+2\sin\alpha\sin\beta$$\
$$2\sin\alpha\sin\beta=\cos(\alpha-\beta)-\cos(\alpha+\beta)$$ \
$$\boldsymbol{\sin\alpha\sin\beta=\frac{\normalsize\cos(\alpha-\beta)-\cos(\alpha+\beta)}{\normalsize2}}$$ 

Ось приблизно так і треба розбиратися у незрозумілих питаннях. А тепер самостійно виведіть інші формули.

![](/files/-LIBeYWIZBXICX0UqKnq)

{% hint style="info" %}
До речі, такі формули можна виводити значно швидше, якщо розглядати, наприклад, формули (1) і (2) як систему рівнянь: \
$$\begin{cases}\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta \ \cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta\end{cases}$$ \
Методом додавання з даної системи отримуємо:\
$$+\underline{\begin{cases}\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta \ \cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta\end{cases}}$$ \
 $$\cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta)=2\cos\alpha\cos\beta$$ \
Звідси до остаточного результату вже зовсім близько:

 $$\cos\alpha\cos\beta=\frac{\normalsize\cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta)}{\normalsize2}$$ 
{% endhint %}

![](/files/-LIBi6EwUE9RfLVyEv2F)

![](/files/-LIBiA8FMqjtYEc9v10x)

Знайдіть у формулах спільне і відмінне – запам'ятати буде простіше.

![](/files/-LIBqyG814NgzDaFgB2Q)

{% tabs %}
{% tab title="Завдання" %}
**Перетворити вирази на суму:**

**34.1.**  $$\cos\left(\alpha-\frac{\normalsize\pi}{\normalsize6}\right)\cos\left(\frac{\normalsize\alpha}{\normalsize2}+\frac{\normalsize\pi}{\normalsize6}\right)$$  (*2 бали*)

**34.2.**  $$\sin10^{\circ}\cos8^{\circ}\cos6^{\circ}$$  (*2 бали*)

**34.3.**  $$4\sin x\cos2x$$  (*2 бали*)

**Обчислити значення виразів:**

**34.4.**  $$\sin4^{\circ}\sin86^{\circ}-\cos2^{\circ}\sin6^{\circ}+\frac{\normalsize1}{\normalsize2}\sin4^{\circ}$$  (*2 бали*)

**34.5.**  $$2\cos20^{\circ}\cos40^{\circ}-\cos20^{\circ}$$  (*2 бали*)

**34.6.**  $$\sin2x+2\sin\left(\frac{\normalsize5\pi}{\normalsize12}-x \right)\cos\left(\frac{\normalsize5\pi}{\normalsize12}+x\right)$$  (*2 бали*)

**34.7.**  $$\cos5^{\circ}\cos55^{\circ}\cos65^{\circ}$$  (*2 бали*)

**34.8.**  $$\tg20^{\circ}\tg40^{\circ}\tg60^{\circ}\tg80^{\circ}$$  (*2 бали*)

**Доведіть тотожності:**

**34.9.**  $$4\cos\frac{\normalsize x}{\normalsize2}\cos x\cos\frac{\normalsize3x}{\normalsize2}=1+\cos x+\cos2x+\cos3x$$  (*4 бали*)

**34.10.** $$\sin3x=4\sin x\sin(60^{\circ}-x)\sin(60^{\circ}+x)$$  (*4 бали*)

**34.11.** $$\tg3x=\tg x\tg(60^{\circ}-x)\tg(60^{\circ}+x)$$  (*4 бали*)

**34.12.** $$16\sin20^{\circ}\sin40^{\circ}\sin60^{\circ}\sin80^{\circ}=3$$  (*4 бали*)

**34.13.** $$4\cos\left(\frac{\normalsize\pi}{\normalsize6}-\alpha\right)\sin\left(\frac{\normalsize\pi}{\normalsize3}-\alpha\right)=\frac{\normalsize\sin3\alpha}{\normalsize\sin\alpha}$$  (*4 бали*)

**34.14.** $$\sin(\pi+\alpha)\sin\left(\frac{\normalsize4\pi}{\normalsize3}+\alpha\right)\sin\left(\frac{\normalsize2\pi}{\normalsize3}+\alpha\right)=\frac{\normalsize1}{\normalsize4}\sin3\alpha$$  (*4 бали*)
{% endtab %}

{% tab title="Підказки" %}
**34.7.** Виконайте множення $$\cos55^{\circ}$$ на $$\cos65^{\circ}$$, розкрийте дужки і знову помножте $$\cos5^{\circ}$$ на $$\cos10^{\circ}$$. Як обчислити $$\cos15^{\circ}$$? А [**ось тут**](https://sch10.gitbook.io/trygonometry/28.-formuli-polovinnogo-argumentu) написано.

**34.8.** Подайте тангенси як відношення синуса до косинуса, обчисліть $$\tg60^{\circ}$$. Потім помножте $$\sin20^{\circ}$$ на $$\sin40^{\circ}$$ та $$\cos20^{\circ}$$ на $$\cos40^{\circ}$$. Після цього внесіть $$\sin80^{\circ}$$ і $$\cos80^{\circ}$$ у дужки, виконайте множення і застосуйте до отриманого формули зведення.

**34.9.** У лівій частині виконуйте множення, а під час перетворення правої – скористайтеся наслідком з однієї з [**формул зниження степеня**](https://sch10.gitbook.io/trygonometry/30.-formuli-znizhennya-stepenyu), а саме формулою квадрата косинуса, поданою у такому вигляді:\
$$1+\cos2\alpha=2\cos2\alpha$$.

**34.12.** Обчисліть $$\sin60^{\circ}$$ і помножте $$\sin20^{\circ}$$ на $$\sin40^{\circ}$$. Потім внесіть у дужки $$\sin80^{\circ}$$ і помножте $$\cos20^{\circ}$$ на $$\sin80^{\circ}$$. Наостанок, в отриманому виразі застосуйте формули зведення. Усі вирази, що містять тригонометричні функції, взаємно знищаться.

**34.13.** У лівій частині виконайте множення, а у правій представте $$\sin3\alpha$$ як $$\sin(2\alpha+\alpha)$$ і після відповідних перетворень за формулою синуса суми застосуйте формулу зниження степеня.
{% endtab %}

{% tab title="Відповіді" %}
![](/files/-LIC4R01PyC2MIh26VES)
{% endtab %}
{% endtabs %}

![](/files/-LIC4VGZ8hT60GYFnCtz)

| **"6":** | 20 балів | **"9":** | 30 балів | **"12":** | 40 балів |
| -------- | -------- | -------- | -------- | --------- | -------- |


---

# Agent Instructions: Querying This Documentation

If you need additional information that is not directly available in this page, you can query the documentation dynamically by asking a question.

Perform an HTTP GET request on the current page URL with the `ask` query parameter:

```
GET https://oleksandr-s-l.gitbook.io/trygonometry/34.-formuli-dobutku-trigonometrichnikh-funkcii.md?ask=<question>
```

The question should be specific, self-contained, and written in natural language.
The response will contain a direct answer to the question and relevant excerpts and sources from the documentation.

Use this mechanism when the answer is not explicitly present in the current page, you need clarification or additional context, or you want to retrieve related documentation sections.