# 36. Розв'язування вправ на використання різних тригонометричних формул > "Моцарт тому і став Моцартом, що працював більше, ніж Сальєрі" (*В.Шаламов*) Цей урок містить багато різних прикладів. Тільки цього разу формули, за якими слід перетворювати вирази, Вам доведеться обирати самостійно. Розв'язуйте, вдосконалюйте свої вміння. І нехай буде з Вами сила! ![](http://mathland.at.ua/DistanceCourses/Trigonometry/Smile/rzhach.png) ![](/files/-LICadVExQVAGK-3Y63u) {% tabs %} {% tab title="Завдання" %} **Обчислити значення тригонометричних виразів:** **36.1.** $$\sin^2\frac{\normalsize\pi}{\normalsize8}+\cos^2\frac{\normalsize3\pi}{\normalsize8}+\sin^2\frac{\normalsize5\pi}{\normalsize8}+\cos^2\frac{\normalsize7\pi}{\normalsize8}$$ **36.2.** $$\tg435^{\circ}+\tg375^{\circ}$$ **36.3.** $$\tg255^{\circ}-\tg195^{\circ}$$ **36.4.** $$\ctg\frac{\normalsize13\pi}{\normalsize12}-\ctg\frac{\normalsize5\pi}{\normalsize12}$$ **36.5.** $$\sin\left(2\alpha+\frac{\normalsize5\pi}{\normalsize4}\right)$$, якщо $$\tg\alpha=\frac{\normalsize2}{\normalsize3}$$ **36.6.** $$\frac{\normalsize5}{\normalsize6+7\sin2\alpha}$$, якщо $$\tg\alpha=0,2$$ **36.7.** $$\sin\alpha$$, якщо $$\sin\frac{\normalsize\alpha}{\normalsize2}+\cos\frac{\normalsize\alpha}{\normalsize2}=1,4$$ **36.8.** $$\sin2\alpha$$, якщо $$\sin\alpha-\cos\alpha=p$$ **36.9.** $$\sin4\alpha+\cos4\alpha$$, якщо $$\sin\alpha-\cos\alpha=\frac{\normalsize1}{\normalsize2}$$ **36.10.** $$\ctg\alpha=\frac{\normalsize3}{\normalsize4}$$, $$\ctg\beta=\frac{\normalsize1}{\normalsize7}$$, $$0<\alpha<\frac{\normalsize\pi}{\normalsize2}$$, $$0<\beta<\frac{\normalsize\pi}{\normalsize2}$$. Знайти $$\alpha+\beta$$. **36.11.** $$\alpha+\beta=\frac{\normalsize\pi}{\normalsize4}$$. Знайти $$(1+\tg\alpha)(1+\tg\beta)$$ **36.12.** $$\sin(\alpha-90^{\circ})=-\frac{\normalsize2}{\normalsize3}$$, $$270^{\circ}<\alpha<360^{\circ}$$. Знайти $$\ctg2\alpha$$ **Спростити вирази:** **36.13.** $$(1+\cos^{-1}2\alpha+\tg2\alpha)(1-\cos^{-1}2\alpha+\tg2\alpha)$$ **36.14.** $$\left(\cos^{-1}2\alpha+\ctg\left(\frac{\normalsize5}{\normalsize2}\pi+2\alpha \right)\right)\ctg\left(\frac{\normalsize5}{\normalsize4}\pi-\alpha\right)$$ **36.15.** $$\sin^{-1}\alpha+\tg^{-1}\alpha$$ **36.16.** $$1-\sin4\alpha+\ctg\left(\frac{\normalsize3}{\normalsize4}\pi-2\alpha\right)\cos4\alpha$$ **36.17.** $$\frac{\normalsize\cos\left(\frac{5}{2}\pi-6\alpha\right)+\sin\left(\pi+4\alpha\right)+\sin(3\pi-\alpha)}{\normalsize\sin\left(\frac{5}{2}\pi+6\alpha\right)+\cos(4\alpha-2\pi)+\cos(\alpha+2\pi)}$$ **36.18.** $$2\left(\sin^{-1}4\alpha-\tg\left(\frac{\normalsize7\pi}{\normalsize2}+4\alpha\right)\right)+\tg(5\pi+\alpha)$$ **36.19.** $$\frac{\normalsize\cos^2\left(\pi+\frac{\alpha}{4}\right)\left(1+\tg^2\left(\frac{3}{4}\alpha-\frac{3\pi}{2}\right)\right)}{\normalsize\sin^{-1}\left(\frac{9\pi}{2}+\frac{\alpha}{2}\right)\left(\tg^2\left(\frac{5\pi}{2}-\frac{\alpha}{4}\right)-\tg^2\left(\frac{3}{4}\alpha-\frac{7\pi}{2}\right)\right)}$$ **36.20.** $$\frac{\normalsize\cos^{-1}2x+\sin2x\tg2x}{\normalsize1+\cos4x}+\frac{\normalsize1}{\normalsize4\sin^2\left(\frac{\pi}{4}-x\right)\ctg\left(\frac{\pi}{4}-x\right)}$$ **36.21.** $$\frac{\normalsize1}{\normalsize2\tg\left(\frac{3\pi}{2}-\alpha\right)\cos^2\left(\alpha-\frac{\pi}{2}\right)}+\frac{\normalsize1-\cos(4\alpha-\pi)}{\normalsize\sin^32\alpha}-$$ \ $$-\frac{\normalsize1}{\normalsize2\ctg\left(\alpha+\frac{3\pi}{2}\right)\sin^2\left(\alpha-\frac{3\pi}{2}\right)}$$ **36.22.** $$\frac{\normalsize\cos^2\left(\frac{5\pi}{4}-2\alpha\right)-\sin^2\left(\frac{5\pi}{4}-2\alpha\right)}{\normalsize\left(\cos\frac{\alpha}{2}+\sin\frac{\alpha}{2}\right)\left(\cos\left(2\pi-\frac{\alpha}{2}\right)+\cos\left(\frac{\pi}{2}+\frac{\alpha}{2}\right)\right)\sin\alpha}$$ **36.23.** $$1-3\tg^2(\alpha+270^{\circ})$$ **Довести:** **36.24.** $$(\cos\alpha-\cos\beta)^2-(\sin\alpha-\sin\beta)^2=-4\sin^2\frac{\normalsize\alpha-\beta}{\normalsize2}\cos(\alpha+\beta)$$ **36.25.** $$\sin^2\left(\frac{\normalsize15}{\normalsize8}\pi-2\alpha\right)-\cos^2\left(\frac{\normalsize17}{\normalsize8}\pi-2\alpha\right)=-\frac{\normalsize\cos4\alpha}{\normalsize\sqrt2}$$ **36.26.** $$\cos4\alpha-\sin4\alpha\ctg2\alpha=\cos2\alpha-2\cos^2\alpha$$ **36.27.** $$\left(\frac{\normalsize\sqrt{\tg\alpha}+\sqrt{\ctg\alpha}}{\normalsize\sin\alpha+\cos\alpha}\right)^2=\frac{\normalsize2}{\normalsize\sin2\alpha}$$ **36.28.** $$\frac{\normalsize\sin\alpha+\tg\alpha}{\normalsize\cos\alpha+\ctg\alpha}\ge0$$ **36.29.** $$\cos2-\cos8<0$$ **36.30.** $$0\le\alpha\le\frac{\normalsize\pi}{\normalsize2}$$, $$0\le\beta\le\frac{\normalsize\pi}{\normalsize2}$$, $$\tg\alpha=5$$, $$\ctg\beta=\frac{\normalsize2}{\normalsize3}$$.\ Довести, що $$\alpha+\beta=\frac{\normalsize3\pi}{\normalsize4}$$ **36.31.** Величини $$\alpha,\beta,\gamma$$ є членами арифметичної прогресії. Доведіть, що $$\frac{\normalsize\sin\alpha-\sin\gamma}{\normalsize\cos\gamma-\cos\alpha}=\ctg\beta$$ {% endtab %} {% tab title="Підказки" %} **36.1.** Як відомо, $$\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$$. В умові задачі теж таке є, лишилось тільки привести вираз до однакових аргументів. **36.2.** Виділіть повне коло, а далі побачите... **36.3.** Використайте формули зведення **36.4.** Завдання теж на застосування формул зведення. Додумайтесь тільки, як їх використати. А наприкінці Вам знадобляться значення тригонометричних функцій деяких "неcтандартних" кутів. Знайти ці значення Ви зможете [**ТУТ**](http://mathland.at.ua/index/znachennja_trigonometrichnikh_funkcij/0-10). **36.5.** По-перше, $$\frac{\normalsize5\pi}{\normalsize4}>\pi$$, значить, від одного повороту на $$\pi$$ можна позбутися (привіт слоникам!). По-друге, нам відоме значення тангенса, отже знадобиться [**формула перетворення синуса і косинуса через тангенс половинного кута**](https://sch10.gitbook.io/trygonometry/31.-formuli-peretvorennya-sinusa-i-kosinusa-cherez-tangens-polovinnogo-kuta), адже якщо $$\sin\alpha=\frac{\normalsize2\tg\frac{\alpha}{2}}{\normalsize1+\tg^2\frac{\alpha}{2}}$$, то $$\sin2\alpha=\frac{\normalsize2\tg^2\alpha}{\normalsize1+\tg^2\alpha}$$. Аналогічно з косинусом... **36.6.** Приклад простіший за попередній, а принцип його розв'язування той же: зробіть із синуса тангенс... **36.7.** А що як обидві частини умови задачі $$\sin\frac{\normalsize\alpha}{\normalsize2}+\cos\frac{\normalsize\alpha}{\normalsize2}=1,4$$ піднести до квадрата? А якщо ще й помітити, що подвоєний добуток в отриманому виразі – це не що інше як sinα, бо за формулою синуса подвоєного кута маємо $$\sin\alpha=2\sin\frac{\normalsize\alpha}{\normalsize2}\cos\frac{\normalsize\alpha}{\normalsize2}$$, то правильна відповідь буде вже зовсім близько. **36.8.** А отут уже самостійно додумайтесь, що потрібно робити (див. №36.7.) **36.9.** $$\sin^4\alpha=\left(\sin^2\alpha\right)^2=\left(\frac{\normalsize1-\cos2\alpha}{\normalsize2}\right)^2$$. Так само можна перетворити косинус. Тепер щось схоже на описане в **№36.7.** потрібно робити з виразом $$\sin\alpha-\cos\alpha=\frac{\normalsize1}{\normalsize2}$$, а що з того вийде – побачите. {% endtab %} {% tab title="Відповіді" %} ![](/files/-LICwVE5yH9RY6IlG1mP) {% endtab %} {% endtabs %} --- # Agent Instructions: Querying This Documentation If you need additional information that is not directly available in this page, you can query the documentation dynamically by asking a question. Perform an HTTP GET request on the current page URL with the `ask` query parameter: ``` GET https://oleksandr-s-l.gitbook.io/trygonometry/36.-rozvyazuvannya-vprav-na-vikoristannya-riznikh-trigonometrichnikh-formul.md?ask= ``` The question should be specific, self-contained, and written in natural language. The response will contain a direct answer to the question and relevant excerpts and sources from the documentation. Use this mechanism when the answer is not explicitly present in the current page, you need clarification or additional context, or you want to retrieve related documentation sections.