# 38. Значення тригонометричних функцій деяких кутів
> "В математиці потрібно пам’ятати не формули, а процеси мислення" (*В.П.Єрмаков*)
Тепер, коли Вам відомо вже багато тригонометричних формул, спробуємо використати їх для обчислення значень тригонометричних функцій, яких немає в таблицях. Наприклад, таких як sin3°, cos18° і т.ін.
Деякі з таких значень функцій є, наприклад, у цьому [**довіднику**](http://mathland.at.ua/index/znachennja_trigonometrichnikh_funkcij/0-10). От тільки як вони були отримані?
**Обчислення значень тригонометричних функцій для кутів, кратних 15°.**
Для обчислення значень тригонометричних функцій кутів, кратних 15, нам потрібно знати значення тригонометричних функцій для самого кута 15°. Такі значення вже були обчислені в завданнях [**Уроку 24**](https://sch10.gitbook.io/trygonometry/24.-formuli-sumi-i-riznici-dvokh-argumentiv). Для цього використовують формули суми і різниці аргументів.
Так, наприклад, значення синуса 15° можна обчислити таким чином:
$$\boldsymbol{\sin15^{\circ}}=\sin(45^{\circ}-30^{\circ})=\sin45^{\circ}\cos30^{\circ}-\cos45^{\circ}\sin30^{\circ}=$$ \
$$=\frac{\normalsize\sqrt2}{\normalsize2}\cdot\frac{\normalsize\sqrt3}{\normalsize2}-\frac{\normalsize\sqrt2}{\normalsize2}\cdot\frac{\normalsize1}{\normalsize2}=\frac{\normalsize\sqrt6}{\normalsize4}-\frac{\normalsize\sqrt2}{\normalsize4}=\boldsymbol{\frac{\normalsize\sqrt6-\sqrt2}{\normalsize4}}$$
Аналогічно, $$\cos15^{\circ}=\frac{\normalsize\sqrt6+\sqrt2}{\normalsize4}$$. Ну і, розділивши синус на косинус (косинус на синус), отримуємо значення тангенса (котангенса) для кута 15°: $$\tg15^{\circ}=2-\sqrt3$$, $$\ctg15^{\circ}=2+\sqrt3$$ .
Знаючи тепер ці величини, можемо порахувати значення тригонометричних функцій для будь-яких аргументів, кратних 15°.
$$\begin{array}{lll} \boldsymbol{\ctg345^{\circ}} = \ctg(330^{\circ}+15^{\circ})=\frac{\normalsize\ctg330^{\circ}\ctg15^{\circ}-1}{\normalsize\ctg15^{\circ}+\ctg330^{\circ}}=\frac{\normalsize-\sqrt3\cdot(2+\sqrt3)-1}{\normalsize2+\sqrt3+(-\sqrt3)}= \ = \frac{\normalsize-2\sqrt3-3-1}{\normalsize2}=\frac{\normalsize-2\sqrt3-4}{\normalsize2}=\frac{\normalsize-2(\sqrt3+2)}{\normalsize2}=\boldsymbol{-\sqrt3-2}\end{array}$$
{% hint style="info" %}
Замість $$\ctg(330^{\circ}+15^{\circ})$$ можна було написати $$\ctg(360^{\circ}-15^{\circ})$$. Тоді отримали б формулу зведення і обчислити значення $$\ctg345^{\circ}$$ можна було б значно швидше.
{% endhint %}
{% tabs %}
{% tab title="Завдання" %}
**38.1.** Обчислити значення тригонометричних функцій для кутів 75°, 105°, 165°, 195° і 285°. Правильність своїх відповідей перевірити за таблицею в [**довіднику**](http://mathland.at.ua/index/znachennja_trigonometrichnikh_funkcij/0-10).
{% endtab %}
{% tab title="Підказки" %}
**38.2.** 36°=2·18° – значить можна використати формулу подвійного кута. 54° – можна визначити, уважно перечитавши виведення sin18°. 72°=54°+18°. 108°=90°+18°. 117°=135°–18°
{% endtab %}
{% endtabs %}
**Обчислення значень тригонометричних функцій для кутів, кратних 18°.**
Обчислимо значення **sin18°**. Для цього формули суми і різниці аргументів явно не підходять, оскільки кут у 18° неможливо виразити через пару кутів, значення тригонометричних функцій яких нам відомі.
Дістатися до sin18° можна через sin36°, формули подвійного і потрійного аргументів, основну тригонометричну тотожність, формули зведення та, як це не дивно, квадратне рівняння.
Ось як це буде.
Згідно з формулою синуса подвійного аргументу синус кута 36° можна виразити як $$\sin36^{\circ}=\sin2\cdot18^{\circ}=2\sin18^{\circ}\cos18^{\circ}$$. З іншого боку, синус 36° це ще і $$\sin36^{\circ}=\sin(90^{\circ}-54^{\circ})=\cos54^{\circ}=\cos3\cdot18^{\circ}$$.
Таким чином, отримуємо рівність $$\sin2\cdot18^{\circ}=\cos3\cdot18^{\circ}$$.
Використаємо тепер формули подвійного ($$\sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha$$) і потрійного\
($$\cos3\alpha=4\cos^3\alpha-3\cos\alpha$$) аргументів і запишемо отриману рівність у вигляді $$2\sin18^{\circ}\cos18^{\circ}=4\cos^318^{\circ}-3\cos18^{\circ}$$.
Розділимо праву і ліву частини рівності на $$\cos18^{\circ}$$ (за результат ділення можна не хвилюватися, адже, очевидно, $$\cos18^{\circ}\ne0$$).
Маємо: $$\frac{\normalsize2\sin18^{\circ}\cos18^{\circ}}{\normalsize\cos18^{\circ}}=\frac{\normalsize4\cos^318^{\circ}}{\normalsize\cos18^{\circ}}-\frac{\normalsize3\cos18^{\circ}}{\normalsize\cos18^{\circ}}$$
$$2\sin18^{\circ}=4\cos^218^{\circ}-3$$\
Перенесемо $$2\sin18^{\circ}$$ в праву частину рівності і "розвернемо" цю рівність справа наліво:\
$$4\cos^218^{\circ}-2\sin18^{\circ}-3=0$$ \
$$4(1-\sin^218^{\circ})-\sin18^{\circ}-3=0$$\
$$4-4\sin^218^{\circ}-2\sin18^{\circ}-3=0$$\
$$-4\sin^218^{\circ}-2\sin18^{\circ}+1=0$$ \
$$4\sin^218^{\circ}+2\sin18^{\circ}-1=0$$
Тепер до відповіді зовсім близько, оскільки маємо рівність, яка нагадує квадратне рівняння, в якому на місці невідомої змінної стоїть такий потрібний нам $$\sin18^{\circ}$$ (тим більше, що ми його якраз-таки і не знаємо).Зробимо для зручності заміну $$\sin18^{\circ}=x$$ і розв'яжемо квадратне рівняння:\
$$4x^2+2x-1=0$$\
$$D=2^2-4\cdot4\cdot(-1)=20$$\
$$x\_1=\frac{\normalsize-2+\sqrt{20}}{\normalsize2\cdot4}=\frac{\normalsize-2+2\sqrt5}{\normalsize8}=\frac{\normalsize-1+\sqrt5}{\normalsize4}=\frac{\normalsize\sqrt5-1}{\normalsize4}$$ \
$$x\_2=\frac{\normalsize-2-\sqrt{20}}{\normalsize2\cdot4}=\frac{\normalsize-2-2\sqrt5}{\normalsize8}=\frac{\normalsize-1-\sqrt5}{\normalsize4}$$
Залишилось тільки визначити, яке з двох значень змінної $$x$$ відповідає значенню sin18° (адже ніяк не може sin18° мати два значення!).
Неважко визначити, що $$\sin18^{\circ}\ne\frac{\normalsize-\sqrt5-1}{\normalsize4}$$, оскільки $$\frac{\normalsize-\sqrt5-1}{\normalsize4}<0$$, а кут 18° належить першій координатній чверті, значить там $$\sin18^{\circ}>0$$. Отже, $$\boldsymbol{\sin18^{\circ}=\frac{\normalsize\sqrt5-1}{\normalsize4}}$$.
Значення cos18° виводиться аналогічно. Виконайте це перетворення самостійно. Що ж до значень тангенса і котангенса, то, мабуть, вже зрозуміло, як їх отримати.
**Знайдемо значення sin3° і cos3°.**
$$\begin{array}{lll}\boldsymbol{\sin3^{\circ}}=\sin(18^{\circ}-15^{\circ})=\sin18^{\circ}\cos15^{\circ}-\cos18^{\circ}\sin15^{\circ}=\\=\frac{\normalsize\sqrt5-1}{\normalsize4}\cdot\frac{\normalsize\sqrt6+\sqrt2}{\normalsize4}-\frac{\normalsize\sqrt{10+2\sqrt5}}{\normalsize4}\cdot\frac{\normalsize\sqrt6-\sqrt2}{\normalsize4}=\\=\frac{\normalsize\sqrt5-1}{\normalsize4}\cdot\frac{\normalsize\sqrt2(\sqrt3+1)}{\normalsize4}-\frac{\normalsize\sqrt2\sqrt{5+\sqrt5}}{\normalsize4}\cdot\frac{\normalsize\sqrt6-\sqrt2}{\normalsize4}=\\=\boldsymbol{\frac{\normalsize\sqrt2}{\normalsize16}\left((\sqrt5-1)(\sqrt3+1)-\sqrt{5+\sqrt5}(\sqrt6-\sqrt2)\right)}\end{array}$$
$$\begin{array}{lll}\boldsymbol{\cos3^{\circ}}=\cos(18^{\circ}-15^{\circ})=\cos18^{\circ}\cos15^{\circ}+\sin18^{\circ}\sin15^{\circ}=\\=\frac{\normalsize\sqrt{10+2\sqrt5}}{\normalsize4}\cdot\frac{\normalsize\sqrt6+\sqrt2}{\normalsize4}+\frac{\normalsize\sqrt5-1}{\normalsize4}\cdot\frac{\normalsize\sqrt6-\sqrt2}{\normalsize4}=\\=\frac{\normalsize\sqrt2\sqrt{5+\sqrt5}}{\normalsize4}\cdot\frac{\normalsize\sqrt6+\sqrt2}{\normalsize4}+\frac{\normalsize\sqrt5-1}{\normalsize4}\cdot\frac{\normalsize\sqrt2(\sqrt3-1)}{\normalsize4}=\\=\boldsymbol{\frac{\normalsize\sqrt2}{\normalsize16}\left(\sqrt{5+\sqrt5}(\sqrt6+\sqrt2)+(\sqrt5-1)(\sqrt3-1)\right)}\end{array}$$
Тепер, користуючись отриманими відомостями, можна обчислити значення тригонометричних функцій для інших кутів, представляючи кути у вигляді суми або різниці, добутку або частки аргументів, значення тригонометричних функцій яких відомі. Можете потренуватися у виконанні цих дій, спробувати обчислити, наприклад, sin6°, cos12°, тощо.
---
# Agent Instructions: Querying This Documentation
If you need additional information that is not directly available in this page, you can query the documentation dynamically by asking a question.
Perform an HTTP GET request on the current page URL with the `ask` query parameter:
```
GET https://oleksandr-s-l.gitbook.io/trygonometry/38.-znachennya-trigonometrichnikh-funkcii-deyakikh-kutiv.md?ask=
```
The question should be specific, self-contained, and written in natural language.
The response will contain a direct answer to the question and relevant excerpts and sources from the documentation.
Use this mechanism when the answer is not explicitly present in the current page, you need clarification or additional context, or you want to retrieve related documentation sections.
