# 39. Деякі складніші задачі > "Математика вчить мислити й разом з тим вселяє віру в безмежні сили людського розуму. Вона виховує волю, характер." (*В.О.Сухомлинський*) У цьому уроці розглянемо деякі тригонометричні задачі, що пропонувалися на олімпіадах з математики ![](/files/-LIRWf0O9T-5OgOlLvo8) **39.1.** Нехай $$\alpha,\beta,\gamma$$ належать проміжку $$\left\[0;\frac{\normalsize\pi}{\normalsize2}\right]$$ і задовольняють рівностям:\ $$\sin\alpha+\sin\beta+\sin\gamma=1$$ та $$\sin\alpha\cos2\alpha+\sin\beta\cos2\beta+\sin\gamma\cos2\gamma=-1$$.\ Знайти значення виразу $$\sin^2\alpha+\sin^2\beta+\sin^2\gamma$$. (*XLV Всеукраїнська олімпіада юних математиків, 10 клас*) **Розв'язання:**\ $$\sin\alpha\cos2\alpha+\sin\beta\cos2\beta+\sin\gamma\cos2\gamma=-1$$\ $$\sin\alpha(\cos^2\alpha-\sin^2\alpha)+\sin\beta(\cos^2\beta-\sin^2\beta)+\sin\gamma(\cos^2\gamma-\sin^2\gamma)=-1$$\ $$\sin\alpha(1-\sin^2\alpha-\sin^2\alpha)+sin\beta(1-\sin^2\beta-\sin^2\beta)+$$\ $$+\sin\gamma(1-\sin^2\gamma-\sin^2\gamma)=-1$$\ $$\sin\alpha(1-2\sin^2\alpha)+\sin\beta(1-2\sin^2\beta)+\sin\gamma(1-2\sin^2\gamma)=-1$$\ $$\sin\alpha-2\sin^3\alpha+\sin\beta-2\sin^3\beta+\sin\gamma-2\sin^3\gamma=-1$$\ $$\underbrace{(\sin\alpha+\sin\beta+\sin\gamma)}\_1 -2(\sin^2\alpha+\sin^3\beta+\sin^3\gamma)=-1$$ \ $$1-2(\sin^3\alpha+\sin^3\beta+\sin^3\gamma)=-1$$ \ $$-2(\sin^3\alpha+\sin^3\beta+\sin^3\gamma)=-2$$ \ $$-\sin^3\alpha+\sin^3\beta+\sin^3\gamma=1$$ \ Оскільки для довільного числового аргументу $$\varphi\in\left\[0;\frac{\normalsize\pi}{\normalsize2}\right]$$ справджуються нерівності $$\sin^3\varphi\le\sin^2\varphi\le\sin\varphi$$ , то маємо:\ $$\underbrace{\sin^3\alpha+\sin^3\beta+\sin^3\gamma}\_1\le\sin^2\alpha+\sin^2\beta+\sin^2\gamma\le\underbrace{\sin\alpha+\sin\beta+\sin\gamma}\_1$$, звідси значення середнього члену подвійної нерівності $$\sin^2\alpha+\sin^2\beta+\sin^2\gamma$$ теж дорівнює 1. Залишається зауважити, що при $$\alpha=\beta=0$$ та $$\gamma=\frac{\normalsize\pi}{\normalsize2}$$ подвійна нерівність перетвориться на правильну рівність.\ **Відповідь:** $$\sin^2\alpha \sin^2\beta+\sin^2\gamma=1$$. ![](/files/-LIBqyG814NgzDaFgB2Q) {% tabs %} {% tab title="Завдання" %} **39.2.** Обчислити $$\tg20^{\circ}\tg40^{\circ}\tg80^{\circ}$$. (*Львівський обласний етап Всеукраїнської олімпіади юних математиків 2004-2005 н.р., 10 клас*) **39.3.** Відомо, що $$2\tg^2\alpha+5\tg\alpha-3=0$$ і $$\frac{\pi}{2}<\alpha<\pi$$. Знайдіть $$\sin2\alpha$$. (*Обласний етап Всеукраїнської олімпіади юних математиків 2004-2005 н.р., Миколаївська область, 10 клас*) {% endtab %} {% tab title="Підказки" %} **39.2.** Формулами добутку тангенсів і тангенса подвійного кута краще не користуватись, про це ви, мабуть, уже здогадались - вираз надто вже ускладнюється. Згадаймо краще про те, що $$\tg\alpha=\frac{\normalsize\sin\alpha}{\normalsize\cos\alpha}$$ і поглянемо які тригонометричні формули можна у цій ситуації використати. **39.3.** Перегляньте ще раз, як було обчислено значення $$\sin18^{\circ}$$(Урок 38) і все зрозумієте. {% endtab %} {% tab title="Відповіді" %} **39.2.** $$\tg20^{\circ}\tg40^{\circ}\tg80^{\circ}=\frac{\normalsize\sin20^{\circ}\sin40^{\circ}\sin80^{\circ}}{\normalsize\cos20^{\circ}\cos40^{\circ}\cos80^{\circ}}$$. Обчислимо тепер значення чисельника і знаменника даного дробу.$$\begin{array}{lll}\sin20^{\circ}\sin40^{\circ}\sin80^{\circ}=\frac{\normalsize 1}{\normalsize2}(\cos(20^{\circ}-40^{\circ})-\cos(20^{\circ}+40^{\circ}))\sin80^{\circ}=\\=\frac{\normalsize1}{\normalsize2}(\cos20^{\circ}-\cos60^{\circ})\sin80^{\circ}=\frac{\normalsize1}{\normalsize2}\cos20^{\circ}\sin80^{\circ}-\frac{\normalsize1}{\normalsize2}\cdot\frac{\normalsize1}{\normalsize2}\sin80^{\circ}=\\=\frac{\normalsize1}{\normalsize2}\cos20^{\circ}\sin80^{\circ}-\frac{\normalsize1}{\normalsize4}\sin80^{\circ}=\frac{\normalsize1}{\normalsize2}\cdot\frac{\normalsize1}{\normalsize2}(\sin60^{\circ}+\sin100^{\circ})-\frac{\normalsize1}{\normalsize4}\sin80^{\circ}=\\=\frac{\normalsize1}{\normalsize4}\left(\sin100^{\circ}+\frac{\normalsize\sqrt3}{\normalsize2}\right)-\frac{\normalsize1}{\normalsize4}\sin80^{\circ}=\frac{\normalsize1}{\normalsize4}\left(\sin100^{\circ}-\sin80^{\circ}+\frac{\normalsize\sqrt3}{\normalsize2}\right)=\\=\frac{\normalsize1}{\normalsize4}(\sin100^{\circ}-\sin80^{\circ})+\frac{\normalsize\sqrt3}{\normalsize8}=\frac{\normalsize1}{\normalsize4}\cdot2\sin10^{\circ}\cos90^{\circ}+\frac{\normalsize\sqrt3}{\normalsize8}=\frac{\normalsize\sqrt3}{\normalsize8}\end{array}$$Використовуючи аналогічний підхід встановлюємо, що\ $$\cos20^{\circ}\cos40^{\circ}\cos80^{\circ}=\frac{\normalsize1}{\normalsize8}$$. Для обчислення значення тангенса розділимо вже пораховані добутки синусів на добутки косинусів. В результаті отримуємо: $$\tg20^{\circ}\tg40^{\circ}\tg80^{\circ}=\frac{\normalsize\frac{\sqrt3}{8}}{\normalsize\frac{1}{8}}=\sqrt3$$. **39.3.** $$-\frac{\normalsize3}{\normalsize5}$$ {% endtab %} {% endtabs %} ![](/files/-LIRWf0O9T-5OgOlLvo8) **39.4.** Нехай $$\alpha,\beta,\gamma$$– такі гострі кути, що $$\cos\alpha=\tg\beta$$, $$\cos\beta=\tg\gamma$$, $$\cos\gamma=\tg\alpha$$. Доведіть, що $$\sin\alpha=\sin\beta=\sin\gamma=\frac{\normalsize\sqrt5-1}{\normalsize2}$$. (*ІІІ етап XLIV Всеукраїнської олімпіади юних математиків, 2004 р., 10 клас*) **Розв’язання:**\ За умовою $$\cos\alpha=\tg\beta$$. Значить, $$\cos^2\alpha=\tg^2\beta$$. Звідси, відповідно до тригонометричних тотожностей одного аргументу, $$1-\sin^2\alpha=\frac{\normalsize1}{\normalsize\cos^2\beta}-1$$. Але згідно з умовою, $$\cos\beta=\tg\gamma$$, отже маємо $$1-\sin^2\alpha=\frac{\normalsize1}{\normalsize\tg^2\gamma}-1$$.\ Продовжуємо перетворення правої частини рівності:\ $$\begin{array}{l}1-\sin^2\alpha=\frac{\normalsize1}{\normalsize\frac{\sin^2\gamma}{\cos^2\gamma}}-1=\frac{\normalsize\cos^2\gamma}{\normalsize\sin^2\gamma}-1=\frac{\normalsize\cos^2\gamma-\sin^2\gamma}{\normalsize\sin^2\gamma}=\\=\frac{\normalsize\cos^2\gamma-(1-\cos^2\gamma)}{\normalsize\sin^2\gamma}=\frac{\normalsize\cos^2\gamma-1+\cos^2\gamma}{\normalsize1-\cos^2\gamma}=\frac{\normalsize2\cos^2\gamma-1}{\normalsize1-\cos^2\gamma}=\\=\frac{\normalsize2\tg^2\alpha-1}{\normalsize1-\tg^2\alpha}=\frac{\normalsize2\cdot\frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha}-1}{\normalsize1-\frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha}}=\frac{\normalsize\frac{2\sin^2\alpha}{1-\sin^2\alpha}-1}{\normalsize1-\frac{\sin^2\alpha}{1-\sin^2\alpha}}=\frac{\normalsize\frac{2\sin^2\alpha-(1-\sin^2\alpha)}{1-\sin^2\alpha}}{\normalsize\frac{1-\sin^2\alpha-\sin^2\alpha}{1-\sin^2\alpha}}=\\=\frac{\normalsize2\sin^2\alpha-1+\sin^2\alpha}{\normalsize1-2\sin^2\alpha}=\frac{\normalsize3\sin^2\alpha-1}{\normalsize1-2\sin^2\alpha}\end{array}$$ Розв'яжемо тепер утворене рівняння $$1-\sin^2\alpha=\frac{\normalsize3\sin^2\alpha-1}{\normalsize1-2\sin^2\alpha}$$, ввівши для зручності змінну $$z=\sin^2\alpha$$. Отримане дробово-раціональне рівняння\ $$1-z=\frac{\normalsize3z-1}{\normalsize1-2z}$$ після перенесення правої його частини в ліву і зведення до спільного знаменника ($$z\ne\frac{1}{2}$$) трансформується у квадратне $$z^2-3z+1=0$$, яке має корені $$z\_1=\frac{\normalsize3+\sqrt5}{\normalsize2}$$ (більше за 1, значить не є розв'язком рівняння\ $$1-\sin^2\alpha=\frac{\normalsize3\sin^2\alpha-1}{\normalsize1-2\sin^2\alpha}$$) і $$z\_2=\frac{\normalsize3-\sqrt5}{\normalsize2}$$ (менше за 1). Таким чином, $$\sin^2\alpha=\frac{\normalsize3-\sqrt5}{\normalsize2}=\left(\frac{\normalsize\sqrt5-1}{\normalsize2}\right)^2$$. Останнє перетворення виконане в такий же спосіб, як при обчисленні значення $$\sin15^{\circ}$$ (див. урок 28). Ну і наостанку, щоб правильно вийти з $$\left(\frac{\normalsize\sqrt5-1}{\normalsize2}\right)^2$$ (потрібен там знак модуля, чи ні?), звернемо увагу на те, що по-перше, значення виразу в дужках додатне, а по-друге, кут $$\alpha$$ є гострим, значить $$\sin\alpha$$ для цього кута додатний. Таким чином, $$\sin\alpha=\frac{\normalsize\sqrt5-1}{\normalsize2}$$, що і треба було довести. Аналогічно одержуються рівності для інших кутів. ![](/files/-LIahSYMu76anIrZ4_W5) {% hint style="info" %} І знову завдання, які можна спробувати розв'язати самостійно. Не поспішайте одразу зазирати у підказки чи у відповідь. Наш мозок – це невеличкий комп'ютер, йому інколи буває потрібен час, щоб знайти відповідь на задане йому питання. Спробуйте знайти шлях розв'язання самостійно, якщо з першого разу не вдається – відкладіть задачу, дайте голові час на роздуми. Черезпівгодини знову поверніться до задачі і Ви відчуєте, що за цей час з'явилися якісь нові міркування чи ідеї. Якщо і вони не приводять до потрібного результату – робіть нові перерви. Ну а якщо вже зовсім нічого не виходить – лише тоді звертайтесь до підказок. {% endhint %} ![](/files/-LIahbpVXaYNFsaaVSF4) {% tabs %} {% tab title="Завдання" %} **39.5.** Обчислити значення виразу:\ $$\cos3^{\circ}\cdot\cos6^{\circ}\cdot\cos9^{\circ}\cdot\cos12^{\circ}\cdot\cos15^{\circ}\cdot\ldots$$ **39.6.** Відомо, що $$\tg\alpha\_1\cdot\tg\alpha\_2\cdot\tg\alpha\_3\cdot\ldots\cdot\tg\alpha\_n=1$$. Знайти найбільше можливе значення добутку $$\sin\alpha\_1\cdot\sin\alpha\_2\cdot\sin\alpha\_3\cdot\ldots\cdot\sin\alpha\_n$$. {% endtab %} {% tab title="Підказки" %} **39.5.** Правильно підмічено: аргументи функцій збільшуються на 3, тобто становлять арифметичну прогресію з різницею 3. Так, може, подивимось, чи немає серед членів цієї прогресії чисел, значення косинусів яких нам відомі? **39.6.** Тангенс можна виразити у вигляді дробу. А коли дріб дорівнює одиниці? Та тоді, коли чисельник і знаменник дробу... Значить, всі ті добутки, які записані в чисельнику... Запишіть це. Помножте тепер кожний з множників в обох частинах на $$2\sin\alpha\_i$$, де $$i$$- порядковий номер кожного з аргументів. Ну а після цього виразіть з отриманої рівності потрібний добуток і не забудьте, що $$\sin2\alpha\_1\cdot\sin2\alpha\_2\cdot\ldots\cdot\sin2\alpha\_n\le1$$. Дослідіть також, в якому випадку досягається рівність. {% endtab %} {% tab title="Відповіді" %} **39.5.** $$0$$ **39.6.** Найбільше можливе значення добутку $$\left(\frac{\normalsize1}{\normalsize\sqrt2}\right)^2=\left(\frac{\normalsize\sqrt2}{\normalsize2}\right)^2=\frac{\normalsize 2}{\normalsize 4}=\frac{\normalsize1}{\normalsize2}$$ . Рівність буде досягнута при $$\alpha\_1=\alpha\_2=\ldots=\alpha\_n=\frac{\normalsize\pi}{\normalsize4}$$ {% endtab %} {% endtabs %} ![](/files/-LIRWf0O9T-5OgOlLvo8) **39.7.** Якщо для сторін $$a,b,c$$ і протилежних їм кутів $$\alpha,\beta,\gamma$$ деякого трикутника $$ABC$$ виконується рівність $$a+b=\tg\frac{\normalsize\gamma}{\normalsize2}(a\tg\alpha+b\tg\beta)$$, то цей трикутник рівнобедрений. Довести це. **Розв'язання:**\ В правій частині рівності $$a+b=\tg\frac{\normalsize\gamma}{\normalsize2}(a\tg\alpha+b\tg\beta)$$розкриємо дужки, згрупуємо доданки, які містять $$a$$ в лівій частині, а доданки, які містять $$b$$ – в правій і винесемо їх за дужки: $$a\left(1-\tg\frac{\normalsize\gamma}{\normalsize2}\tg\alpha\right)=b\left(\tg\frac{\normalsize\gamma}{\normalsize2}\tg\beta-1\right)$$. Продовжуємо перетворення:\ $$a\left(\tg\frac{\normalsize\gamma}{\normalsize2}\ctg\frac{\normalsize\gamma}{\normalsize2}-\tg\frac{\normalsize\gamma}{\normalsize2}\tg\alpha\right)=b\left(\tg\frac{\normalsize\gamma}{\normalsize2}\tg\beta-\tg\frac{\normalsize\gamma}{\normalsize2}\ctg\frac{\normalsize\gamma}{\normalsize2}\right)$$ \ $$a\tg\frac{\normalsize\gamma}{\normalsize2}\left(\ctg\frac{\normalsize\gamma}{\normalsize2}-\tg\alpha\right)=b\tg\frac{\normalsize\gamma}{\normalsize2}\left(\tg\beta-\ctg\frac{\normalsize\gamma}{\normalsize2}\right)\big| :\tg\frac{\normalsize\gamma}{\normalsize2}$$ \ $$a\left(\ctg\frac{\normalsize\gamma}{\normalsize2}-\tg\alpha\right)=b\left(\tg\beta-\ctg\frac{\normalsize\gamma}{\normalsize2}\right)$$ \ Оскільки аргументи даних тригонометричних функцій – кути трикутника, то\ $$\alpha+\beta+\gamma=180^{\circ}$$. Звідси $$\frac{\normalsize\gamma}{\normalsize2}=90^{\circ}-\frac{\normalsize\alpha+\beta}{\normalsize2}$$. Підставивши це значення в рівність $$a\left(\ctg\frac{\normalsize\gamma}{\normalsize2}-\tg\alpha\right)=b\left(\tg\beta-\ctg\frac{\normalsize\gamma}{\normalsize2}\right)$$їй можна надати такого вигляду:\ $$a\left(\tg\frac{\normalsize\alpha+\beta}{\normalsize2}-\tg\alpha\right) = b\left(\tg\beta-\tg\frac{\normalsize\alpha+\beta}{\normalsize2}\right)$$.\ Виразивши в цій рівності тангенси через синуси і косинуси, після спрощення отримаємо: $$\sin\frac{\normalsize\beta-\alpha}{\normalsize2}(a\cos\beta-b\cos\alpha)=0$$.\ Звідси випливає, що принаймні один з цих множників дорівнює нулю.\ Якщо $$\sin\frac{\normalsize\beta-\alpha}{\normalsize2}=0$$, то $$\beta=\alpha$$, оскільки $$-\pi<\beta-\alpha<\pi$$. Два кути трикутника рівні, значить трикутник рівнобедрений.\ Розглянемо тепер $$a\cos\beta-b\cos\alpha=0$$, тобто $$a\cos\beta=b\cos\alpha$$. Для будь-якого трикутника, за теоремою синусів, маємо: $$\frac{\normalsize\sin\alpha}{\normalsize a}=\frac{\normalsize\sin\beta}{\normalsize b}$$. Перемноживши почленно дві останні рівності, дістанемо $$\sin\alpha\cos\beta=\sin\beta\cos\alpha$$ або $$\sin(\alpha-\beta)=0$$. З цієї рівності слідує, що знову-таки $$\alpha = \beta$$, тому що $$-\pi<\beta-\alpha<\pi$$.Таким чином, якщо сторони і кути трикутника $$ABC$$ задовольняють рівності $$a\left(\ctg\frac{\normalsize\gamma}{\normalsize2}-\tg\alpha\right)=b\left(\tg\beta-\ctg\frac{\normalsize\gamma}{\normalsize2}\right)$$, то такий трикутник рівнобедрений, бо його кути $$\alpha$$ і $$\beta$$ рівні між собою. ![](/files/-LIBqyG814NgzDaFgB2Q) {% tabs %} {% tab title="Завдання" %} **39.8.** Доведіть тотожність:\ $$\sin\alpha+\sin2\alpha+\sin3\alpha+\ldots+\sin n\alpha=\frac{\normalsize\cos\frac{\alpha}{2}-\cos\frac{(2n+1)\alpha}{2}}{\normalsize2\sin\frac{\alpha}{2}}$$\ (До речі, такі суми ще записують так: $$\sum\limits\_{k=0}^n \sin m\alpha$$, що означає суму всіх доданків виду $$\sin m\alpha$$, в яких значення $$m$$ змінюються з кожним наступним доданком від $$m=1$$ до $$m=n$$. Символ Σ (грецька буква "сігма") використовується для позначення суми.) **39.9.** Вивести формулу для обчислення суми $$\sum\limits\_{k=0}^n \cos(\alpha+k\beta)$$ (*І тур Всеукраїнської олімпіади юних математиків, Кіровоградська область, 1999-2000 н.р., 10 клас*) **39.10.** Доведіть рівність $$\prod\limits\_{m=0}^n \cos(2^m\alpha)=\frac{\normalsize\sin2^{n+1}\alpha}{\normalsize2^{n+1}\sin\alpha}$$\ (Правильно здогадались, великою грецькою літерою Π ("пі") позначається добуток. Тобто:\ $$\prod\limits\_{m=0}^n\cos(2^m\alpha)=\cos\alpha\cdot\cos2\alpha\cdot\cos4\alpha\cdot\cos8\alpha\cdot\ldots\cdot\cos2^{n-1}\alpha\cdot\cos2^n\alpha$$ .) **39.11.** Обчислити: $$\cos\frac{\normalsize\pi}{\normalsize65}\cos\frac{\normalsize2\pi}{\normalsize65}\cos\frac{\normalsize4\pi}{\normalsize65}\cos\frac{\normalsize8\pi}{\normalsize65}\cos\frac{\normalsize16\pi}{\normalsize65}\cos\frac{\normalsize32\pi}{\normalsize65}$$. (*Завдання заочного туру олімпіади з математики Сумського національного аграрного університету, 2004 р., 11 клас*) **Доведіть нерівності:** **39.12.** $$\frac{\normalsize\sin1^{\circ}}{\normalsize\sin2^{\circ}}<\frac{\normalsize\sin3^{\circ}}{\normalsize\sin4^{\circ}}<0$$ **39.13.** $$\frac{\normalsize\sin\alpha}{\normalsize\sin\alpha-\cos\alpha\tg\frac{\alpha}{2}}<2$$ **39.14.** $$(1+\sin\alpha)(1+\cos\alpha)(1+\tg\alpha)(1+\ctg\alpha)\times$$\ $$\times(1+\sec\alpha)(1+\cosec\alpha)>64$$ **39.15.** $$\tg40^{\circ}+\tg45^{\circ}+\tg50^{\circ}>3$$ **39.16.** Довести, що число $$\tg\frac{\normalsize\pi}{\normalsize24}+\ctg\frac{\normalsize\pi}{\normalsize6}-4\cos\frac{\normalsize\pi}{\normalsize12}$$ є цілим, знайти це число. (*Завдання олімпіади Київського національного університету імені Т.Шевченка, механіко-математичний факультет, 2004 р., 11 клас*) {% endtab %} {% tab title="Підказки" %} **39.8.** Помножте і розділіть (щоб не змінювати вираз) ліву частину рівності на вираз, який потрібен у знаменнику, тобто на $$2\sin\frac{\normalsize\alpha}{\normalsize2}$$ , після цього використайте формулу добутку синусів. Зверніть увагу на вирази, які отримаєте, чи немає серед них подібних? Які з них взаємно знищуються? Які залишаються? **39.9.** Помножте і розділіть вираз на $$2\sin\frac{\normalsize\beta}{\normalsize2}$$ **39.10.** Завдання розв’язується в аналогічний спосіб. Помножте і поділіть добуток на $$2\sin\alpha$$ . Далі побачите, як швидко і легко вираз почне "згортатися" за формулою синуса подвоєного аргументу. **39.11.** Після того, як скористаєтесь формулою для добутку косинусів, представте $$\frac{\normalsize64\pi}{\normalsize65}$$ як $$\frac{\normalsize65\pi}{\normalsize65}-\frac{\normalsize\pi}{\normalsize65}$$ , щось гарне вийде… **39.12.** Пригадайте тільки умову, при якій можна стверджувати, що $$a < b$$ (9 клас) і виконайте потрібну дію. **39.13.** Суто аналітичне доведення. Перенесіть "двійку" до дробу і перетворіть вираз. Не забувайте про те, яких значень можуть набувати тригонометричні функції. **39.14.** Дужки розкривати не хочеться? І правильно, якщо не хочеться – так заплутаєтесь, що всією школою розплутувати доведеться! :) А от нерівність Коші $$\frac{\normalsize a+b}{\normalsize2}\ge\sqrt{ab}$$ тут буде якраз доречною. Щоправда, навряд чи треба ста-вити знак "$$\ge$$”, мабуть достатньо знака " $$>$$ " (подумайте чому?). **39.15.** Один з тангенсів вже відомий, залишається показати, що сума двох інших більше за 2. **39.16.** Одне зі значень вже можна обчислити. Якщо придивитися до двох інших, то помітимо, що аргумент першої функції в 2 рази менший за аргумент другої, до того ж аргумент другої функції дорівнює 15°. Залишилось обчислити $$\tg\frac{\normalsize\pi}{\normalsize24}$$ . Тут нам допоможе формула тангенса половинного кута і вміння перетворювати вирази, що містять корені. {% endtab %} {% tab title="Відповіді" %} **39.9.** $$\frac{\normalsize\sin\frac{(n+1)\beta}{2}\cos\left(\alpha+\frac{n\beta}{2}\right)}{\normalsize\sin\frac{\beta}{2}}$$ **39.11.** $$\frac{\normalsize1}{\normalsize64}$$ **39.16.** $$-2$$ {% endtab %} {% endtabs %} --- # Agent Instructions: Querying This Documentation If you need additional information that is not directly available in this page, you can query the documentation dynamically by asking a question. Perform an HTTP GET request on the current page URL with the `ask` query parameter: ``` GET https://oleksandr-s-l.gitbook.io/trygonometry/39.-deyaki-skladnishi-zadachi.md?ask= ``` The question should be specific, self-contained, and written in natural language. The response will contain a direct answer to the question and relevant excerpts and sources from the documentation. Use this mechanism when the answer is not explicitly present in the current page, you need clarification or additional context, or you want to retrieve related documentation sections.